Полярная система координат

Как известно, положение точки М на плоскости в прямоугольной системе координат определяется парой чисел (х,у) – координатами точки.

В полярной системе координат та же точка может быть определена так называемым полярным углом j и длиной радиуса – вектора (рис.1). Луч ОР называется полярной осью, т.О – полюсом. Связь между декартовым и полярными координатами состоит в следующем: ; .

Построить кривые, заданные уравнением в полярной системе координат:

1. r=a j; 2. r= 3(1- cos j); 3. r=asin 3j; 4. r=acos 2j; 5. r ²= a ² cos 2j.

Вычисление площадей фигур

а) площади

криволинейных трапеций, ограниченные кривыми, заданные явными уравнениями в декартовой системе координат (рис.2).

б) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной своими параметрическими уравнениями:

определяется как .

в) Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в полярной системе координат как r=r (j) и лучами j=a, j=b (рис.3), находится .

_______________

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1. 4 у =8 х - х ², 4 у = х +6; 2. у =4- х ², у = х ²-2 х; 3. ху =4, х =1, х =4, у =0;

4. y=lnx, x=e, y= 0; 5. x=acost, y=bsint; 6. x=a(t-sint), y=a( 1 -cost), осью ОХ, t Î[0;2p]; 7. r=a( 1 -cos j); 8. r ²= a ² cos 2j. 9. r=asin 3j;

10. ; r= 2 asin j. 11. r=4 sin ²j; 12. x=acos ³ t; y=asin ³ t.

Ответы:

1. ; 2. 9; 3. 8 ln 2; 4. 1; 5. p ab; 6. 3p a ²; 7. 3p a ²/2; 8. а ²; 9. p a ²/4;

10. . 11. 6p. 12. 3p/8.

Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Дуга задана уравнением y=f(x), x Î[ a,b ]. Длина дуги определяется как .

2. Дуга задана уравнением в параметрической форме . Тогда .

3. Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат как r=r (j), jÎ[a,b], определяется: .

____________________

1. Вычислить длину дуги полукубической параболы у ²=(х -1)³ между точками А (2;-1) и В (5;-8).

2. Найти длину дуги кривой у ²= х ³, отсеченной прямой х =4/3.

3. Найти длину одной арки циклоиды x=a(t-sint), y=a( 1 -cost).

4. Найтидлинуастроиды x=acos ³ t, y=asin ³ t.

5. Найти длину кардиоиды r=a( 1+ cos j).

6. Найти длину всей кривой .

Ответы:

1. »7,63; 2. 112/27; 3. 8 а; 4. 6 а; 5. 8 а; 6. 1,5 а p.

Вычисление объема тел вращения

Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y=f(x) ³0 при условии, что х Î[ a,b ] и осью ОХ (рис.4).Объем полученного тела вращения может быть найден как .

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OY (рис.5) объем .

_____________

1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ²=2 px, x=a вокруг оси ОХ.

2. Тело образовано вращением фигуры, ограниченной линиями 2 у=х ² и 2 х +2 у -3=0 вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.

3. Вокруг оси ОХ вращается фигура, ограниченная астроидой x=acos ³ t, y=asin ³ t. Найти его объем.

4. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OY.

Ответы:

1. p ра ²; 2. ; 3. ; 4. 8p.

Несобственные интегралы

Определенный интеграл предполагает, что пределы интегрирования конечны, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ]. Интегралы, для которых эти условия не выполнены, называются несобственными интегралами.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [ a;¥). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода, при этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится.

В общем случае , где с – произвольное число.

Для ответа на вопрос, сходится или расходится данный интеграл, можно сформулировать следующие признаки:

1. Если на промежутке [ a;¥) непрерывные функции f(x) и j (х) удовлетворяют условию 0£ f(x) £j (x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .