Полярная система координат





 

Как известно, положение точки М на плоскости в прямоугольной системе координат определяется парой чисел (х,у) – координатами точки.

В полярной системе координат та же точка может быть определена так называемым полярным углом j и длиной радиуса – вектора (рис.1). Луч ОР называется полярной осью, т.О – полюсом. Связь между декартовым и полярными координатами состоит в следующем: ; .

Построить кривые, заданные уравнением в полярной системе координат:

1. r=aj; 2. r=3(1-cosj); 3. r=asin3j; 4. r=acos2j; 5. r2=a2cos2j.

 

Вычисление площадей фигур

 

а) площади

криволинейных трапеций, ограниченные кривыми, заданные явными уравнениями в декартовой системе координат (рис.2).

 

б) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной своими параметрическими уравнениями:

определяется как .

в) Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в полярной системе координат как r=r(j) и лучами j=a, j=b (рис.3), находится .

 

_______________

 

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1. 4у=8х-х2, 4у=х+6; 2. у=4-х2, у=х2-2х; 3. ху=4, х=1, х=4, у=0;

4. y=lnx, x=e, y=0; 5. x=acost, y=bsint ; 6. x=a(t-sint), y=a(1-cost), осьюОХ, tÎ[0;2p]; 7. r=a(1-cosj); 8. r2=a2cos2j. 9. r=asin3j;

10. ; r=2asinj. 11. r=4sin2j; 12. x=acos3t; y=asin3t.

Ответы:

1. ; 2. 9; 3. 8ln2; 4. 1; 5. pab; 6. 3pa2; 7. 3pa2/2; 8. а2; 9. pa2/4;

10. . 11. 6p. 12. 3p/8.

 

Вычисление длины дуги плоской кривой

 

1. Дуга задана уравнением y=f(x), xÎ[a,b]. Длина дуги определяется как .

2. Дуга задана уравнением в параметрической форме . Тогда .

3. Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат как r=r(j), jÎ[a,b], определяется: .

____________________

 

1. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2=(х-1)3 между точкамиА(2;-1) и В(5;-8).

2. Найти длину дуги кривой у2=х3, отсеченной прямой х=4/3.

3. Найти длину одной арки циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost).

4. Найтидлинуастроидыx=acos3t, y=asin3t.

5. Найти длину кардиоиды r=a(1+cosj).

6. Найти длину всей кривой .

Ответы:

1. »7,63; 2. 112/27; 3. 8а; 4. 6а; 5. 8а; 6. 1,5аp.

 

Вычисление объема тел вращения

Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линиейy=f(x)³0 при условии, что хÎ[a,b] и осью ОХ (рис.4).Объем полученного тела вращения может быть найден как .

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OY (рис.5) объем .

_____________

 

1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y2=2px, x=a вокруг оси ОХ.

2. Тело образовано вращением фигуры, ограниченной линиями 2у=х2 и 2х+2у-3=0 вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.

3. Вокруг оси ОХ вращается фигура, ограниченная астроидой x=acos3t, y=asin3t. Найти его объем.

4. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OY.

Ответы:

1. pра2; 2. ; 3. ; 4. 8p.

 

Несобственные интегралы

 

Определенный интеграл предполагает, что пределы интегрирования конечны, а подынтегральная функция f(x)непрерывна на отрезке [a,b]. Интегралы, для которых эти условия не выполнены, называются несобственными интегралами.

Пусть функция f(x)непрерывна на промежутке [a;¥). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода, при этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится.

В общем случае , где с – произвольное число.

Для ответа на вопрос, сходится или расходится данный интеграл, можно сформулировать следующие признаки:

1. Если на промежутке [a;¥) непрерывные функции f(x) и j(х) удовлетворяют условию 0£f(x)£j(x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

2. Если существует предел

j(х)>0, то интегралы и ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся или оба расходятся.

_________________

 

Найти несобственные интегралы и сделать вывод об их сходимости:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .

Ответы:

1) 1; 2) 1; 3) ¥, расходится; 4) ln2; 5) p.

 





Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2019 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!