Интегрирование тригонометрических функций

Функция с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления, называется рациональной функцией и обозначается как R(sinx, cosx).

В процессе интегрирования различных тригонометрических выражений часто используются известные тригонометрические формулы:

. (1)

. (2)

. (3)

Можно выделить несколько типов интегралов от тригонометрических функций:

1. . Он находится с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

2. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) нечетна относительно sin x, то можно cos x принять за t; если она нечетна относительно cos x, то за t принимается sin x.

3. Если подынтегральная функция четна относительно sin x и cos x, то за переменную t принимается tgx, т.е. tgx=t; x=arctgt, ; sin ² x= .

4. находятся после понижения степени подынтегральной функции.

5. вычисляются после применения к подынтегральным функциям формул (3).

____________________

Найти интегралы:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9.	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. .

Ответы:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. или

; 15. ;

16. .

Интегрирование иррациональных функций

Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки, которая преобразует интеграл от иррациональной функции в интеграл от функции рациональной. Можно выделить следующие типы интегралов от иррациональных функций:

1. . Для таких интегралов рационализация достигается подстановкой , где m – общий знаменатель рациональных чисел Р ₁, Р ₂,…, P_n.

2. Интегралы типа

сводятся к табличным после выделения под радикалами полного квадрата и последующей подстановкой .

3. Интегралы типа

приводятся к рационально зависящим от тригонометрических функций выражениям с помощью следующих тригонометрических подстановок соответственно: х=asint или x=acost, x=atgt, .

________________________

Найти интегралы:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. .

Ответы:

1. ;

2. ;

3. ; 4. ;

5. ;

6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ;

12. .

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение и вычисление определенного интеграла

Пусть на отрезке [ a,b ] определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b ] на n частей точками a=x ₀< x ₁<…< x _n =b и на каждом интервале (x_i_- ₁ ,x_i) выберем произвольную точку x _i. Составим сумму , где D x_i = x_i -x_i_- ₁, которая называется интегральной суммой.

Предел называется определен-ным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b. Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, т.е. значения первообразной функции для f(x) в точках верхнего и нижнего пределов.

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функция x= j (t) и ее производная x'= j' (t) непрерывны при t Î[a,b], и множеством значений функции x= j (t) при t Î[a,b] является отрезок [ a,b ], и пустьj ( a )=а, j ( b )=b, тогда