1) Площадь плоской области S: 
(11)
Пример 1.
Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями 
у = 2, у = 5.
Решение.
Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями 
и
где 
вычисляется с помощью интегрирования по частям:
Следовательно,
2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y), ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:
(12)
3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:
(13)
где D – проекция S на плоскость Оху.
4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:
(14)
Пример 2.
Найти момент инерции однородной круглой пластинки
(x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Решение.
В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.
Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.
Уравнения границ пластинки имеют вид
Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I1 сделаем замену: 
при x = a – 2b 
при x = a + 2b 
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:
Тогда
Следовательно, 
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
(15)
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(16)
Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если 
Решение.
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(17)
Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и 
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда 
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
Соответственно
6) Объем тела V:
(18)
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями 
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость 
проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20)
(21)
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координаты центра масс тела:
II. Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: 
.
Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы 
, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:
(24)
Если кривую L можно задать параметрически:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,
то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой
(25)
В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
. (26)
Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.
Если существует конечный предел при 
интегральной суммы 
, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается
. (27)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора 
, и существуют интегралы
,
тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают
.
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то
. (28)
Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:
(29)
где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.
Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования являются:
. (30)
При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
При этом функцию и можно найти по формуле
(31)
где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.
Поверхностные интегралы
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку
Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
Если существует конечный предел при 
этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
. (32)
Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла:
(33)
где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху.
Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы
,
не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
(34)
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
и 
.
Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:
(35)
Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то
(36)
Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:
(37)
где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:
(38)