Содержание
1 Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл
1.2 Тройной интеграл
1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах
1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов
2 Криволинейные и поверхностные интегралы
2.1 Криволинейные интегралы
2.2 Поверхностные интегралы
2.3 Геометрические и физические приложения
Список используемой литературы
Кратные интегралы
Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей 
, а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2,..., dn. Выберем в каждой части 
точку Рi.
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi:
, (1)
называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при 
и 
, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается
. (2)
Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями 
x = a, x = b (a < b), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
Рис. 1
= 
(3)
Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi, считая объем каждой части равным Δvi, и составим интегральную сумму вида
, (4)
Предел при 
интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:
. (5)
Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (6)
Кратные интегралы в криволинейных координатах
Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.
Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ. Отсюда 
, tg 
.
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2, непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
Рис. 4
Тогда
(7)
В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).
Рис.5 Рис.6
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
, (10)
где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.