Конечно-элементная постановка задачи

Определение упругих модулей композита.

Постановка задачи

Для определения упругих модулей композита рассмотрим ячейку элементарного представительного объема (рис. 1).

Свойства компонент представлены в таблице 1.

Табл. 1. Свойства компонент материала

Компонент	Е, Па	ν	G, Па
1 - матрица	4∙10⁹	0.45	1.3793∙10⁹
2 - волокно	250∙10⁹	0.30	96.1538∙10⁹

На основе алгоритма конечно-элементного определения эффективных характеристик волокнистых композитов и конечно-элементного решения с помощью пакета ANSYS серии задач для ячейки периодичности композитной структуры необходимо вычислить:

– эффективные упругие модули Юнга

– эффективные коэффициенты Пуассона

– эффективные модули сдвига

Аналитическое решение.

Для определения эффективного модуля Юнга используется правило смесей:

где – объемная концентрация i -го компонента, – модуль Юнга i -го компонента, N – количество компонентов.

Для рассматриваемой ячейки: . Подставив полученные значения, найдем .

Эффективные модули Юнга и коэффициенты Пуассона определяются из опыта на одноосное растяжение, в ходе которого должны быть получены средние значения напряжений, возникающих в ячейке периодичности композита:

Также используются соотношения связи:

Для определения эффективного модуля сдвига необходимо решить задачу о поперечном сдвиге ячейки периодичности. Искомый модуль сдвига определяется из эффективных упругих соотношений для ортотропной среды:

Для определения эффективных модулей сдвига и необходимо решить две задачи о продольном сдвиге ячейки периодичности. Искомые модули сдвига определяются из эффективных упругих соотношений:

Для первой задачи:

Для второй задачи:

Конечно-элементная постановка задачи

Для получения средних значений напряжений решим численно задачу о растяжении ячейки периодичности методом конечных элементов. Построим модель средствами пакета КЭ анализа ANSYS. В силу симметрии будем рассматривать только четверть представительного объема:

Рис. 2. Графическое представление КЭ модели ячейки

При построении модели использованы восьмиузловые квадратичные плоские элементы (каждый узел обладает двумя трансляционными степенями свободы).

Определение эффективных модулей Юнга и коэффициентов Пуассона

Зададим горизонтальное перемещение правой границы расчетной области , а остальные зафиксируем , обеспечив тем самым деформацию .

Исследуем сходимость решения поставленной задачи по методу конечных элементов, проведя несколько расчетов на различных сетках. В качестве контрольного параметра выберем значение напряжений в нижней правой точке ячейки. По результатам серии вычислительных экспериментов построим зависимость решения от числа степеней свободы КЭ модели:

Рис. 3. График сходимости МК

Как видно, метод достаточно быстро сходится, и решение практически перестает меняться уже при количестве степеней свободы модели .

Задав размеры КЭ сетки, обеспечивающие удовлетворительную точность, получим окончательное решение. Результаты представим графически в виде полей перемещений и напряжений ячейки:

Рис. 4. Поля перемещений и

Рис. 5. Поля нормальных и касательных напряжений

Средние значения напряжений:

Решив систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , получим:

Определение эффективного модуля сдвига

Решается задача о поперечном сдвиге в плоскости ХУ. Для его реализации зададимся граничными условиями:

Полученные поля напряжений представлены на рис. 6 и рис. 7

Рис. 6 Поле напряжений

Рис. 7 Поля напряжений

Средствами ANSYS были получены осредненные по объему значение величины

Используя полученные средние по объему значения деформаций и напряжений, вычислим эффективный модуль сдвига для ячейки периодичности:

Определение эффективного модуля сдвига

Остается определить модуль сдвига решением задачи об антиплоском деформировании сечения представительного объема. Проводить расчет будем по температурной аналогии, используя уже введенные выше параметры КЭ сетки. При построении модели использованы восьмиузловые линейные плоские элементы. Граничные условия задавались следующими: .