Векторная алгебра и анализ
2.1. Определители, матрицы, системы линейных уравнений
Автор Л.Ю. Трояновская.
Лекция 2. Определители.
Содержание:
- Определители 1, 2, 3-го порядка. ♦
- Свойства определителей. ♦
- Минор элемента и его алгебраическое дополнение. ♦
- Вычисление определителей. ♦
Определители 1, 2, 3-го порядка.
Определение 1. Определителем квадратной матрицы А называется число, которое обозначается 
, detA, ∆
.
Порядок матрицы является и порядком определителя.
Элементы 
образуют главную диагональ, а элементы 
– побочную.
Вычисление определителей 1, 2, 3-го порядка.
1). Определитель первого порядка (п =1) равен своему элементу: 
= 
.
Пример. 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). Определитель второго порядка (п =2) равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали: 
, т.е.
Пример.
.
3). Определитель третьего порядка (п =3) можно вычислить по правилу треугольников (правилу Саррюса):
т.е. 
Пример.
Определители более высоких порядков вычисляются с помощью свойств определителей.
Свойства определителей.
1°. Значение определителя не меняется при транспонировании
.
Пример.
2°. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак.
Пример.
3°. Определитель, имеющий строку (или столбец), состоящую из нулей, равен нулю.
Пример.
4°. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.
Пример.
5°. Если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или другого столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.
Пример.
6°. Определитель, имеющий пропорциональные строки (или столбцы) равен нулю.
Пример.
, т.к. соответствующие элементы первого и третьего столбцов пропорциональны.
7°. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) можно представить в виде суммы двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей такого вида:
.
Пример.
Минор элемента и его алгебраическое дополнение.
Определение 2. Минором элемента 
определителя называется определитель 
, который получается из исходного вычеркиванием i – той строки и j – того столбца, на пересечении которых находится этот элемент.
Пример.
Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется число 
.
В предыдущем примере: 
Вычисление определителей.
Вычисление определителя методом понижения порядка
(разложением по строке или столбцу).
Теорема 1. Определитель п – го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
– разложение определителя по i – той строке.
– разложение определителя по j – тому столбцу.
Разложение определителя третьего порядка по первой строке:
Пример.
.
Теорема 2 Сумма произведений элементов любой строки (столбца). определителя п – го порядка на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равно нулю:
.
Вычисление определителя приведением к треугольному виду.
Теорема 3. Значение определителя треугольного вида равно произведению элементов главной диагонали.
Пример.
.
Определитель произведения матриц.
Теорема 4. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.
.
(без доказательства)