Решение упражнений с разбором у доски.

239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пи­рамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диаго­налей основания и равна 7 см.

241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит че­рез точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

242. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой гра­ни, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоско­сти основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверх­ности пирамиды.

243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у кото­рого АВ = АС =13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой по­верхности пирамиды.

244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треуголь­ник ABC, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, а катет АС равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основа­ния и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пира­миды.

245. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ кото­рого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикуляр­ны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пи­рамиды.

246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боко­вой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окруж­ности, вписанной в ее основание, б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

Самостоятельное решение упражнений с последующей проверкой

247. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписан­ной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, про­веденные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой по­верхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пи­рамиды.

248. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к осно­ванию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пи­рамиды.

249. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описан­ной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треуголь­ник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг дру­гу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см.

252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС,в котором стороны АВ и АС равны, ВС = 6 см, высота АН рав­на 9 см. Известно также, что DA = DB = DC =13 см. Найдите высоту пирамиды.

Дополнительные задания

240. * Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны кото­рого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пи­рамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пира­миды.

250. * Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.

253. * Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с осно­ваниями 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пи­рамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

256. * В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна т, а плоский угол при вершине равен а. Найдите: а) высоту пира­миды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

266. * Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

267.* Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

268.* Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четы­рехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усечен­ной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна 186 дм². Найдите высоту усеченной пирамиды.

269.* Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4дм и 2дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

VI. Итог урока

1. Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями явля­ются правильные треугольники?

2. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, мо­жет иметь пирамида?

3. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противопо­ложные боковые грани перпендикулярны к основанию?

4. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

5. Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркас­ную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?

VII. Задание на дом:

Глава 3, § 2, п.п. 32, 33, 34, №№ 254, 255 с. 67 – 68

254. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плос­кий угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым реб­ром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боко­вом ребре пирамиды.

255. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ. Найдите высоту этой пирамиды.