Графический способ решения уравнений

Ответ: х₁ = ; х₂ = 1.

2) .

Решение: ; 128 = 2⁷;

; ; 6 х = 7; х = .

Ответ: х = .

3) .

Решение:

; ; ; ;

; ; х₁ = - 1; х₂ = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12.

3) , а > 0, а ¹ 1, b > 0, b ¹ 1, а ¹ b

 

Уравнение решается делением обеих частей на .

 

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: Разделим обе части уравнения на .

; ; ; х - 2 = 0; х = 2.

Ответ: х = 2.

2) .

Решение: ; ; ;

Умножим обе части уравнения на .

; ; ; х - 3 = 0; х = 3.

Ответ: х = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

4) , а > 0, а ¹ 1

 

Особенностью уравнения является наличие одного и того же коэффициента перед х. Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель , где k _i - наименьшее из чисел k₀, k₁ , k₂, …, k_п .

Пример:

1) .

Решение: ; ; ; ; ; ; х = 4.

Ответ: х = 4.

2) .

Решение:

; ;

; ;

; ; 3х - 2 = 2х - 2; 3х - 2х = 2 - 2; х = 0.

Ответ: х = 0.

3) .

Решение:

; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ; ; .

Ответ: .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

5) , а > 0, а ¹ 1

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у₁, у₂. После этого решение уравнения сводится к решениюдвух уравнений: , .

 

Пример:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

; ; у₁ = - 4; у₂ = 2;

- уравнение корней не имеет, так как ;

; х = 1.

Ответ: х = 1.

2) .

Решение:

; ; ;

; ; ;

; ; у₁ = 1; у₂ = 3;

; х² - 1 = 0; х² = 1; х₁ = - 1; х₂ = 1;

; х² - 1 = 1; х² = 2; х₃ = ; х₄ = .

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 1; х₃ = ; х₄ = .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) .

6) , а > 0, а ¹ 1, b > 0, b ¹ 1.

Отметим, что в выражении показатели степеней в первом и третьем слагаемых вдвое больше показателей степеней во втором слагаемом. Такие выражения называются однородными 2-ого порядка. А уравнения вида называются однородными 2-ого порядка. Разделив уравнение на , получим: .

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у₁, у₂ и, возвращаясь к первоначальной переменной, получим два уравнения и .

 

Пример: .

Решение: ; ;

Разделим обе части уравнения на :

; ;

; ; ;

; ; у₁ = ; у₂ = 1;

; х₁ = 1; ; х₂ = 0.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 0.

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

Графический способ решения уравнений

Уравнение можно рассматривать как задачу об отыскании таких значений переменной х, при которых значения двух данных функций равны.

Рассмотрим уравнение вида . Графический способ решения такого вида уравнений заключается в отыскании приближенных значений абсцисс точек пересечения графиков функций и в одной и той же системе координат.

Решите графически уравнение: .

Решение:

у = х²

х	- 3	- 2	- 1
у

х	- 3	- 2	- 1
у

Ответ: х₁ » - 0,7; х₂ = 2.

Упражнения: Решите графически уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) .

3. Показательные неравенства.

Определение: Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени.

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции : показательная функция возрастает при и убывает при .

Пример: Решить неравенства:

1. .

Решение: .

Ответ: .

2. .

Решение: ;

а = 1> 0 ветви параболы направлены вверх;

х ² + 3х = 0; ;

; ; ; ; ;

; ; .

Упражнения: Решить неравенства:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
13.

4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество.

Необходимость возникновения нового понятия появилась из практической потребности при решении конкретных задач.

Определение: Логарифмомчисла b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получитьчисло b.

Упражнения: Вычислить: ;

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) ;
13) .

5. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование.

1) , так как .

2) , так как .

3) Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

.

4) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: .

5) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: .

6) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

.

Пример: Вычислить:

1. ;
2. ;
3. ;
4. 

;

1. ;
2. .

Определение: Логарифмированием данного выражения называется представление логарифма этого выражения через логарифмы входящих в него элементов.

Замечание: Сумма и разность выражений не логарифмируются.

Пример:

1. Прологарифмировать данное выражение:

Определение: Потенцированием называется нахождение выражения по его логарифму. Потенцирование – это действие,обратное логарифмированию.

Пример: Пропотенцировать: .

Решение:

;

.

Ответ: .

Упражнения:

1. Вычислить:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8)

1. Прологарифмировать данное выражение:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) .

1. Пропотенцировать:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

1. Найти х, если:

1) ;

2) ;

3) .

6. Логарифмическая функция, ее свойства и графики.

Определение: Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической.

- показательная функция;

Û ;

- логарифмическая функция.

1. Область определения функции: , так как по определению
2. Множество значений функции: , так как показатель степени может быть любым действительным числом.

Вывод: График логарифмической функции расположен в первой и четвертой координатных четвертях.

1. Функция не является ни четной ни нечетной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.

1. Функция является монотонной:

1) при 0 < а < 1 – убывающая функция;

2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.

1. Функция является обратимой, так как она монотонна:

- логарифмическая функция;

- показательная функция.

1. у = 0; ; х = 1 - нуль функции.
2. Промежутки знакопостоянства:

1) при 0 < а < 1

;

.

2) при а > 1

;

.

1. Функция является неограниченной сверху и снизу.

1. Любая логарифмическая функция проходит через точку (1; 0), так как при х = 1 .

Замечание: Для построения графика логарифмической функции можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой у = х.

 

(0 < а < 1)

х
у	- 3	- 2	- 1

х

у

- 3

- 2

- 1

- 1

- 2

- 3

у = х

(а > 1)

х
у	- 3	- 2	- 1

х

у

12Следующая ⇒

Поделиться:

Поиск по сайту

©2015-2025 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-01-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных