На всей области определения данного уравнения следующие уравнения равносильны:
Û 
Û
Û 
Û 
.
Введем новую переменную: 
;
; 
;
; 
; у1 = - 3; у2 = 1;
у1 = - 3; lоg2 x = - 3; х1 = 
;
у2 = 1; lоg2 x = 1; х2 = 2.
Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения.
; 
.
Ответ: х1 = 
; х2 = 2.
Упражнения: Решить уравнения:
|
|
|
|
|
|
; 
; 
; 
; 
; 
;
8. Формула для перехода от одной системы логарифмов к другой.
Очень часто в математике встает задача нахождения логарифма положительного числа b по основанию n (n > 0, n ¹ 1), если известен логарифм этого числа по другому основанию а (а > 0, a ¹ 1). Задача сводится к нахождению переводного множителя, с помощью которого осуществляется переход от одной системы логарифмов к другой.
Задача:
Дано:
;
Найти:
.
Решение:
Û 
;
Û 
;
Прологарифмируем обе части равенства по основанию а:
Û 
Û 
Û
Û 
Û 
.
.
Пример:
-
; -
.
Вывод:
1. Выражение 
называется модулем перехода от одной системы логарифмов к другой. Равенство 
называется формулой перехода от одной системы логарифмов к другой.
Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).
2. Логарифм числа при данном основании равен логарифму этого же числа при другом основании, умноженному на модуль перехода.
3. Если а = b,то 
или 
, то есть 
и 
являются взаимно обратными числами.
Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).
4. 
;
.
Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).
Пример: 
.
Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений с использованием формулы перехода от одной системы логарифмов к другой.
Пример:
-
.
Решение:
|
|
Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
.
Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой 
приведем логарифмы к основанию 2:
;
;
;
;
; 
; 
; 
;
; х = 8.
Проверка:
.
Ответ: х = 8.
-
.
Решение:
Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
.
Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:
;
;
;
;
Умножим обе части уравнения на 4:
;
Введем новую переменную: ;
; 
;
; 
; у1 = 2; у2 = 10;
у1 = 2; lоg2 x = 2; х1 = 4;
у2 = 10; lоg2 x = 10; х2 = 1024.
Проверка:
Все корни принадлежат области определения уравнения.
; 
.
Ответ: х1 = 4; х2 = 1024.
Упражнения: Решить уравнения:
-
; -
; -
; -
; -
.
9. Логарифмические неравенства.
Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция 
при а > 1 является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.
Пример: Решить логарифмические неравенства:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
1. .
Решение:
Ответ: 
.
2. .
Решение:
Ответ: 
.
3. .
Решение:
Ответ: 
.
4. .
Решение:
Ответ: 
.
Упражнения:
-
; -
; -
; -
; -
; -
.
Контрольные вопросы.
1. Показательная функция, ее свойства и графики.
2. Показательное уравнение, неравенство (определение).
3. Дать определение логарифма числа b по основанию a.
4. Свойства логарифмов.
5. Логарифмическая функция, ее свойства и графики.
6. Логарифмическое уравнение, неравенство (определение).
7. Формула перехода от логарифма числа по одному основанию к логарифму этого числа по другому основанию.