Правило сложения событий.
Если событие А произойдет m раз, а событие В n-раз, то событие А или В произойдет m+n
А m+n В
(несовм)
Правило умножение событий
А и В
(одноврем)
А m ∙ n B
(cовм)
Кр-4
Син-2
Зел-3
Чер-1
Сколькими способами можно вытащить 3 карандаша разного цвета
В некоторых задачах числа??? находить используя комбинированные формулы.
Комбинаторика
Это раздел изучающий различные комбинации элементов любой природы и вычисление числа этих комбинаций.
3 типа:
- перестановки - перестановками назовем тип комбинаций который связан с перестановкой или нумерацией элементов.
Теорема 1
Число перестановок без повторений вычислен по формуле:
Теорема 2
Число постановок с повторением вычисляем по формуле:
Сколько списков можно составить из 5 человек.
Данная задача является комбинацией постановки без повторений
Сколько комбинаций можно составить из букв слова "математика" применяем теорему 2
- сочетание - сочетаниями называются который связан с выбором m- элементов из n- элементов.
Теорема 3
Число сочетаний без повторений вычисляем по формуле:
Теорема 4
Сочетание с повторениями вычисляем по формуле:
Сколькими способами можно выбрать 3 студента на конференцию, если в группе 10 человек. Применим теорему 3
В буфете 5 типов пирожных. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных
- размещение - называют такой тип комбинаций, который связан с выбором и перестановкой элементов.
Теорема 5
Число размещений без повторений вычислим:
Теорема 6
Число размещений с повторениями вычислим:
Сколькими способами можно выбрать председателя и заместителя, если в компании 8 человек
Применим теорему 5
Сколько существует пятизначных номеров телефона
Шифр сейфа пятизначный. Сколько безуспешных x- попыток может сделать преступник если ему известно:
а) все цифры одинаковые
б) все разные
в) ничего
г) одна цифра четная, последняя 0- все разные
а)
б)
в)
г)
Статистическое определение вероятности.
Классическое определение неприменимо для событий,, которые имеют не равновозможные исходы (бракованная монета)
В таких случаях применяют статистическое определение вероятности, которая связана с понятием относительной частотой.
Относительной частотой события А называется число равное отношению числа событий, в котором появляется событие А к общему числу всех опытов.
При достаточном большом количестве опытов относительная частота колеблется возле постоянного числа которая находится по классическому определению вероятности.
Математик Пирсон 23000 раз бросал монету с крыши 11587 раз выпадал герб.
Статистическая вероятность относящую частному или число близких к ней.
Статистическая вероятность обладает свойствами
- нахождение для событий, которые происходят неограниченное число раз
- события должны обладать статистической устоойчивостью
-при n, то
Геометрическая вероятность.
Классическая вероятность вычисляется для событий имеющих конечное число исходов. В противном случае, если число исходов. применяют геометрическую вероятность.
Пусть точка брошена на отрезок длиной L, вероятность, что она попадет в отрезок
1. Найти вероятность, что бросив точку в круг мы попадем в правильный шестиугольник вписанный в этот круг.
Геометрическая вероятность - отношения мер благоприятные области к мере всей области.
2. Найти вероятность попадания в кольцо ограниченное двумя окружностями r=8 и 10 см.
3.Найти вероятность попадания в параллелепипед с длинными 2 3 4 бросая точку в куб со стороной 10.
Классическая вероятность вычисляется до опыта для событий равновозможных с конечным числом исходов.
Вероятность после опыта, опытов и события не равновозможные.
Геометрическая вероятность числятся для событий происходящих x- неограниченное число раз.
§ Теорема сложения и умножения вероятностей. вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема 1
Вероятность наступления двух несовместных событий вычисляется по формуле:
Найти вероятность вытащить не красную карточку
Теорема 2
Вероятность наступления двух совместных событий вычисляется по формуле:
Замечание 1.
Если события меньше 2, формула 2 применяется в виде:
Замечание 2.
Для событий меньше 2 применяют теорему 3
Теорема 3
Вероятность наступления хотя бы одного для нескольких независимых совместных событий вычисляем по формуле:
Замечание 3.
Если вероятность совместных событий одинаковые, то теорема 3 имеет вид:
Например
Вероятность, что телевизор выдержит гарантийный срок 80%.; холодильник 70%. Найти вероятность, что хотя бы один выдержит гарантийный срок
Т2:
Т3:
В группе 15 студентов. вероятность заболеть в зимний период 60%. Найти вероятность, что в этот период хотя бы один студент заболеет гриппом.
Т3:
Вероятность сдать зачет по одному предмету 0,6%, по двум 0,75%, по трем 0,9%. Того, что студент не сдаст хотя бы один зачёт.
Теорема 4
Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий:
Например
Найти вероятность сдать все 3 зачета одновременно
Теорема 5
Вероятность одновременного наступления нескольких событие вычисляем по формуле:
Найти вероятность вытащить 3 туза Из колоды в 36 карт
Найти вероятность вытащить даму, короля и туза.
Найти вероятность, при 3 ставках на красное посетитель выиграет
В коробке красных шаров-4, черных-5, синих-3. Найти вероятность
а) вытащить три шара одного цвета
б) Два шара одного цвета из 3
а)
б)
Пример
а) все 3 попадут в мишень
б) не один
в) хотя бы один попадет
г) только два попадут
а)
б)
в)
г)