Задачи для самостоятельной работы студентов

Задача 2.16 Четыре элемента пускорегулирующего устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время / равна 0,2; второго - 0,25; третьего - 0,3; четвертого - 0,4. Найти вероятность того, что за время t откажут: а) четыре элемента; б) три элемента; в) два элемента; г) один элемент; д) не откажет ни один элемент; е) откажут не более двух элементов.

Задача 2.17 Осуществлены два электрических разряда. Вероятность пробоя изоляторов при первом разряде равна 0,8, при втором - 0,9.Найти вероятность следующих событий: а) два пробоя; б) один пробой; в) ни одного пробоя; г) не менее одного пробоя. 42

Задача 2.18 Система состоит из пяти независимо работающих генераторов. Вероятность отказа генератора в момент включения системы равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших генераторов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших генераторов; в) вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре генератора.

Задача 2.19 Производится испытание трех элементов пускорегулирующей аппаратуры: контактора, трансформатора тока, диода (отказы элементов независимы). Время безотказной работы элементов распределено по экспоненциальному закону: для контактор , для трансформатора тока , для диода . Найти вероятность того, что в интервале времени (0, 100 ч) откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов

Задача 2.20 Испытываются обмотки генератора постоянного тока: якоря, добавочных полюсов, возбуждения (отказы обмоток независимы). Время безотказной работы обмоток подчинено экспоненциальному закону: для обмотки якоря F₁ (t) = 1 - е^-0.00002t, для обмотки возбуждения F₃(t)= 1-е^-0.00003t. Найти вероятность того, что за время 5000 ч откажут: а) одна обмотка; б) две обмотки; в) три обмотки.

Задача 2.21 Среднее значение кратности пускового тока k₁ (математическое ожидание) партии асинхронных двигателей М(k₁) = 6, дисперсия _к = 1.

Какова вероятность того, что взятый на контроль двигатель будет иметь кратность пускового тока в интервале (5, 7)? Закон распределения кратности пускового тока k₁ нормальный?

Задача 2.22 Завод изготовил серию из 100000 вакуумных автоматических реклоузера. Вероятность того, что реклоузер бракованный равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж серии содержит ровно 5 бракованных реклоузера.

Задача 2.23 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Указание. Принять е^-2 = 0.13534.

Задача 2.24 В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделён на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается тогда, когда диски установлены так, что цифры на них составляют определённое четырехзначное число.

Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

Задача 2.25 Вероятность появления каждого из двух независимых событий A₁ и А₂ соответственно равна р₁ и р₂ (вероятность противоположных событий q₁ и q₂). Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Задача 2.26 При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,95. Каково число проверенных приборов, если число годных приборов было 190?

Задача 2.27 Цена деления вольтметра 0,2 В. Показания вольтметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка: а) меньше 0,04 В: б) больше 0,05 В (закон распределения - равномерный).

Задача 2.28 Производится пять независимых испытаний. В среднем вероятность положительного исхода в одном испытании равна 0,4. Для принятия решения об исходе испытаний требуется не менее трёх положительных исходов. Какова вероятность принятого решения?

Задача 2.29 При данном технологическом процессе 85% всей производимой продукции высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего качества в партии из 150 изделий.

Задача 2.30 Пятеро студентов проживают в одной комнате общежития. Поэтому готовясь к экзамену параллельно, каждый из них сумел выучить только 75 одних и тех же вопросов из 100. Какова вероятность того, что ими будет получено две пятерки, две четверки и одна тройка, если пятерка ставится за три правильных ответа, четверка за два правильных ответа и тройка за один правильный ответна три вопроса?

Задача 2.31 Производители заклепок для самолета Boeing-141 гарантируют, что в среднем только одна заклепка из 1000 не выдержит экстремальных нагрузок и лопнет. Какова вероятность того, что из 10000 использованных при постройке самолета заклепок ровно 7 выйдут из строя? Чему равна вероятность того, что таких заклепок будет не больше 7?

Задача 2.32 Производитель одноразового индивидуального средства защиты гарантирует его надежность на уровне 99,9%. Если этим средством приходится пользоваться ежедневно (каждый раз новым), то какова вероятность заражения хотя бы один раз в течение одного года? А в течение 10 лет?

Задача 2.33 Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее двух опечаток.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

ЗАКОНЫРАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.1. Цель практического занятия

Закрепление пройденного теоретического материала и овладение методиками исследования законов распределения непрерывных случайных величин

3.2. Задачи практического занятия

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении конкретных практических задач контроля и оценки надежности на основе законов распределения непрерывных случайных величин.

3.3. Краткие теоретические сведения и задачи для практического решения

Одним из наиболее простых и часто применяемых законов распределения случайных величин является экспоненциальное распределение, ему подчиняются отказы некоторых узлов электрических машин малой мощности (например, коллекторный узел), а также отказы некоторых типов машин малой мощности. Этот закон широко используется для описания надежности пускорегулирующей аппаратуры, элементов радиоэлектроники (диоды, конденсаторы). Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла, которое широко используется при оценке надежности механических, электромеханических узлов и элементов радиоэлектронной аппаратуры. В электрических машинах этим законом описывается надежность подшипниковых узлов, а также распределение пробивного напряжения в обмотках асинхронных двигателей.

Нормальный закон (закон Гаусса) широко используется при оценке надежности изделий, на надежность которых воздействует ряд случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на результирующий эффект (нет доминирующих факторов). В электрических машинах обычно нормальному закону подчиняются отказы коллекторного узла, контактных колец, а также щеток (иногда подшипники и изоляция).

Задача 3.1 Случайная величина изменения нагрузки двигателя в долях от номинальной задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате контроля нагрузки X примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше трех; в) не меньше трех; г) не меньше пяти.

Решение: а) при х 2 функция F(x)=0, поэтому F(0,2) = 0, т.е. Р(х <0,2)= 0; б); в) события х 3 и х<3 противоположны, поэтому P(х 3)+P(х<3) = 1. Отсюда, учитывая, что P(х<3) = 0,5, получим P(х 3)= 1-0,5 = 0,5; г) суммарная вероятность противоположных событий равна единице, поэтому Р(х 5)+ Р(х < 5)= 1. Используя условие, что при х>4 функция F(х) = 1, получаем P(x 5)= l - P(x<5) = l-F(5) = 1-1 = 0.

Задача 3.2 Случайная величина X изменения нагрузки двигателя в долях от номинальной задана функцией распределения

Найти вероятность того, что нагрузка примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение. Искомая вероятность равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<x<b)= F(b)-F(a). Так как а = 0, b = 1/3, получим

P(0 x 1/3)=F(1/3)-F(0)-[(3/4)x+3/4]_x=1/3-

[(3/4)x+3/4]_x=0=1/4

Задача 3.3 Функция распределения непрерывной случайной величины X (время безотказной работы обмотки, возбуждения двигателя постоянного тока) F(x) = 1-е ^-x/T, (х 0).

Найти вероятность безотказной работы обмотки за время х Т.

Задача 3.4 На достаточно большом промежутке времени случайная величина - момент включения генератора - задана функцией распределения F(t) = 1/2 +(1 /π) arctg(t/2), где t — время.

Найти возможное значение t₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина окажется больше, чем t₁.

Задача 3.5 Параметр технологического процесса z в интервале (0,∞) задан плотностью распределения f{z) = αe^-w(α>6); вне этого интервала f(z) = 0.

Найти вероятность того, что z примет значение, принадлежащее интервалу (1,2).

Задача 3.6 Случайная величина Т, определяющая момент включения тиристора, в интервале (0, π) задана плотностью распределения f(t)= (l/2)sin t, вне интервала f(t) = 0.

Найти дисперсию D(t).

Решение. В соответствии с (3.5), учитывая, что M (T) = π /2 (кривая распределения симметрична относительно координаты t = π /2),получим

D(T) = 1/2J ² sin tdt - (π / 2)²

Дважды интегрируя по частям, найдем

² sin tdt = ² -4.

откуда

D(T) = ( ² - 8)/4.

Задача 3.7 Случайная величина Т, определяющая момент наброса нагрузки генератора, в интервале (2,4) задана плотностью распределения f(t) = -(3/4)t²+(9/2)t - 6, вне этого интервала f(t) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Т.

Решение. Представим плотность распределения в виде f(t) = -(3/4)(t-З)² + 3/4. Отсюда при t = 3 плотность распределения имеет максимум, следовательно, M₀(t) = 3. Кривая распределения симметрична относительно прямой t = 3, поэтому M(t) = 3, Me(t) = 3.

Задача 3.8 Закон распределения отказов обмотки асинхронных исполнительных двигателей задан функцией распределения F(t) = l- ( 0, t 0).

Найти математическое ожидание.

Задача 3.9 Закон распределения отказов подшипникового узла асинхронных двигателей задан плотностью вероятности (распределение Вейбулла)

f(t)=(n/x₀)t ^n-1e^{-t^(n/to)}

f(t)= 0, при t < 0. Найти моду.

Задача 3.10 Случайная величина - закон распределения микротрещин в изоляции - задана функцией распределения

1 - х₀³ / х³, при х > х₀(х₀ > 0)

0 при х < х₀

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадра-тическое отклонение.

Задача 3.11 Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и двум.

Найти вероятность того, что в результате испытаний X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение. В соответствии с (3.9), можно записать

Р(12 < х < 14) = Ф -Ф =Ф(2)-Ф(1)

Из приложения А находим Ф(2) = 0,4772; Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р( 12 < х < 14) = 0,13 59.

Задача 3.12 Производится измерение воздушного зазора синхронных машин без систематических (одного знака) погрешностей. Случайные погрешности измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением = 0,1 мм

Найти вероятность того, что измерения будут произведены с погрешностью, не превышающей по абсолютному значению 0,15 мм.

Решение. Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю, поэтому согласно (3.12):

Р( < 0.15) = 2Ф(0,15/0,1) = 2Ф(1,5).

По таблице А.1 приложения А находим Ф(1,5) = 0,4332. Отсюда искомая вероятность Р( < 0,15) = 0,8664.

Задача 3.13 Колебания напряжения подчинены нормальному закону. Математическое ожидание равно 5 В, среднеквадратическое отклонение - 10 В.

Найти вероятность того, что измеренное значение напряжения будет отклоняться от номинального не более чем на 20 В.

Задача 3.14 Закон распределения отказов подшипникового узла синхронного генератора - нормальный.

Какова вероятность того, что подшипниковый узел будет работать от 10 000 до 13 000 ч, если математическое ожидание (средняя наработка на отказ) и среднеквадратическое отклонение соответственно равны: M(t) = T_cp =10000 ч, _t = 1000 ч?

Задача 3.15 Произвести оценку вероятности длительности безотказной работы исполнительного асинхронного двигателя типа АСМ-400 для трех промежутков времени его работы t_i =8000, 10000, 12000 ч, если средняя наработка (математическое ожидание)

M(t) = 12000 ч, среднеквадратическое отклонение _t =2000 ч. Закон распределения отказов - нормальный.

Задача 3.16 Среднее значение кратности пускового тока k (математическое ожидание) партии асинхронных двигателей M(k_i)= 6, дисперсия _k = 1.

Какова вероятность того, что взятый на контроль двигатель будет иметь кратность пускового тока в интервале (5,7)? Закон распределения кратности пускового тока k₁ нормальный?

Задача 3.17 Случайная величина Т - время работы машины малой мощности - имеет экспоненциальное распределение.

Определить вероятность того, что время работы машины будет не меньше 600 ч, если среднее время работы составляет 400 ч.

Решение. Если M(X) = 1/ то Х = /400. Отсюда искомая вероятность:

Р(Т 600) = 1 - Р(Т < 600) = 1 - F(600) = 1 - (1 - ) = е^-1.5 = 0,2231.

Задача 3.18 Нагрузка двигателя М подчинена распределению по показательному закону, заданному плотностью вероятностей f(m)=3e^-3m, при m 0; f(m) = 0, при m <0.

Определить вероятность того, что в результате испытаний М попадет в интервал (0,13...0,7).

Решение. Используем (2.15) при условии, что а = 0,13; b = 0,7; = 3, а также табл. Б.1 приложения Б:

Р(0,13 < X < 0,7) = e^-30.13 - е^-30.7 = 0,677 - 0,122 = 0,555.

Задача 3.19 Нагрузка двигателя М распределена по показательному закону, причем f(m) = 0,04е^-0.04m, при m<0.

Найти вероятность того, что в результате испытаний М попадет в интервал (1,2).

Задача 3.20 Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение экспоненциального распределения, заданного плотностью вероятности

f (х) = 10е^-10x(х>0).

Задача 3.21 Время безотказной работы обмотки якоря генератора постоянного тока имеет экспоненциальное распределение

F(t) = l-e^-0.0001t(t > 0).

Найти вероятность того, что за время t = 5000 ч: а) обмотка откажет; б) обмотка не откажет.

Задача 3.22 Испытывают обмотку возбуждения и обмотку добавочных полюсов генератора независимого возбуждения.

Время безотказной работы обмотки возбуждения имеет экспоненциальное распределение F, = 1-е^-0.0002t, обмотки добавочных полюсов F, =1-е^-0.0005t.

Найти вероятность того, что за время t = 600 ч: а) обе обмотки откажут; б) обе обмотки не откажут; в) только одна обмотка откажет; г) хотя бы одна обмотка откажет.

Задача 3.23 Произвести оценку вероятности безотказной работы асинхронного двигателя с полым ротором типа ЭМ-50 для времени t₁ = 1000 ч, 3000 ч, если закон распределения отказов экспоненциальный с параметром = 20 10^-6ч^-1

Задача 3.24 Производится испытание трёх элементов пускорегулирующей аппаратуры: контактора, трансформатора тока, диода (отказы элементов независимы). Время безотказной работы элементов распределено по экспоненциальному закону: для контактора f (t) = 0.001e^-0.001t. для трансформатора f₂(t)= 0.002e^-0.002t, для диода f₃ (t) = 0,003е^-0.003t.

Найти вероятность того, что в интервале времени (0, 100 ч) откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов.

Задача 3.25 Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления.

Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Погрешность измерения — случайная величина X, распределенная равномерно.

Длина интервала b-а = 0,1, поэтому f (х) = 10. Погрешность отсчета превысит 0.02, если она будет в интервале (0.02; 0,08). Поэтому согласно (3.18) Р(0,02 <х< 0,08)= dx = 0,6.

Задача 3.26 Ротор электродвигателя движется по конвейеру с интервалом 5 мин.

Найти вероятность того, что сборщик, подойдя к конвейеру, будет ждать очередной ротор менее 3 мин.

Задача 3.27 Минутная стрелка электрических часов перемещается шаговым двигателем скачком в конце каждой минуты.

Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Задача 3.28 Отказы подшипникового узла асинхронного двигателя подчиняются распределению Вейбулла с параметрами k = 1,5 и ₀ = 2 10^-6 ч^-1.

Определить вероятность отказа и вероятности безотказной работы подшипникового узла для времени t₁= 500, 1000 и 2000 ч.

Решение. По формуле (1.44).

F(500) = l-e^{-210^-6 (500^1.5)} =1-е^-0.0224 =0.02;

1-F(500) = 0.98;

Л(500) = l-e^{-210^-6 (1000^1.5)} =1-е^-0.0632 =0.06;

1-F(l 000) = 0.94;

F(500) = = l-e^{-210^-6) (2000^1.5)} =1-е^-0.179 =0,16;
1 — F(1000) = 0,84.

Задача 3.29 Отказы подшипникового узла синхронного генератора подчиняются распределению Вейбулла с параметрами k=2,6 и ₀ =1,65 10^-7 ч^-1.

Определить вероятность отказа и вероятность безотказной работы подшипникового узла для времени t = 150 ч.

Задача 3.30 Отказы высокоскоростного шарикоподшипника двигателя имеют логарифмически нормальное распределение, с параметрами = 5 и = 1. Найти вероятность отказа и вероятность безотказной работы для t= 150 ч.

Решение. Подставив значения , и t в (2.26) и используя табл, приложение А. получаем:

F(t)=0.5+Ф =0.5+ Ф(0.01)=0.504

l-F(t) = 1-0,504 = 0.496.

Задача 3.31 Вероятность отказа коллекторно-щеточного узла машины постоянного тока имеет логарифмически нормальное распределение.

Определить вероятность безотказной работы узла для времени / = 800 ч, если известны параметры распределения а_р1 = 4 и р = 8.

Задача 3.32 Вероятность отказов серии синхронных генераторов в период старения и износа имеет логарифмически нормальное распределение.

Определить вероятность безотказной работы узла для времени t = 800 ч, если известны параметры распределения = 4 и = 8.

Задача 3.32 Вероятность отказов серии синхронных генераторов в период старения и износа имеет логарифмически нормальное распределение.

Определить вероятность отказа двигателя для t = 17000ч, если известны параметры распределения = 9 и =9.

Задача 3.33 Вероятность отказа электромашинного устройства имеет логарифмически нормальное распределение.

Определить вероятность безотказной работы устройства для времени t = 20000 ч, если известны параметры распределения =10 и =9.9.