Пример выполнения контрольной работы

Линейные пространства

Задание 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента а на любое число a?

1.1. Множество всех действительных чисел;

сумма a + b, произведение a*a.

Решение. Проверяем замкнутость множества действительных чисел относительно введенных операций суммы элементов множества и произведения элемента множества на число. Сумма действительных чисел и произведение действительного числа на любое число являются действительными числами. То есть операции a + b и a*a определены на заданном множестве. Аксиомы линейного пространства 1)-8) выполняются на основании правил арифметических операции. Нулевым элементом является число , а противоположным для числа а является число (- а), так как

а +(- а)=0.

Ответ. Множество действительных чисел с введенными операциями суммы элементов множества и произведения элемента множества на число является линейным пространством.

1.2. Множество всех симметрических матриц , , , , ; сумма , произведение .

Решение. Проверяем замкнутость множества симметричных матриц относительно введенных операций суммы элементов множества и произведения элемента множества на число. Сумма симметричных матриц и произведение симметричной матрицы на число являются симметричными матрицами. То есть операции a + b и a*a определены на заданном множестве. Аксиомы линейного пространства 1)-8) выполняются на основании свойств линейных операции над матрицами. Нулевым элементом является матрица , , а противоположным элементом - .

Ответ. Множество симметрических матриц с введенными операциями суммы матриц и произведения матрицы на число является линейным пространством.

Задание 2. Найти какую-либо базу системы векторов и выразить через нее все векторы системы.

Решение. Составим матрицу, столбцами которой являются координаты заданных векторов и приведем ее к упрощенному виду с помощью элементарных преобразований строк:

В полученной матрице столбцы, являющиеся столбцами единичной матрицы линейно независимы, а остальные столбцы являются линейной комбинацией этих столбцов. Отсюда векторы, соответствующие столбцам единичной матрицы линейно независимы, а остальные векторы являются линейной комбинацией этих векторов. Таки образом, векторы линейно независимы и составляют базу исходной системы, а вектор является линейной комбинацией этих векторов. Из упрощенной матрицы записываем выражение четвертого столбца через первые три

Следовательно, четвертый вектор является линейной комбинацией векторов с теми же коэффициентами, то есть

Ответ:

а) база системы: векторы ,

б) выражение векторов через векторы базы:

, ,

, .

Задание 3. В линейном пространстве задан базис . Заданы разложения векторов по базису и задан - столбец координат вектора в базисе и - столбец координат вектора в базисе .

1. Доказать, что система векторов является базисом пространства .

2. Записать матрицу перехода от базиса к базису и матрицу перехода от базиса к базису .

3. Найти разложение вектора по базису и разложение вектора по базису .

4. Записать - столбец координат вектора в базисе и - столбец координат вектора в базисе .

Решение. Запишем координаты векторов в базисе

Чтобы доказать, что система векторов является базисом, надо доказать их линейную независимость. Для этого составим матрицу, столбцами которой являются координаты векторов в базисе и вычислим ее ранг.

Ранг матрицы равен трем, значит система векторов линейно независима и является базисом пространства.

Записанная выше матрица является матрицей перехода от базиса к базису , то есть

Матрица перехода от базиса к базису является обратной к матрице , то есть . Вычислим ее

Таким образом получили

Теперь можно вычислить столбец координат вектора в базисе

истолбец координат вектора в базисе

Разложения векторов запишутся в виде

Ответ:

1. Система векторов является базисом пространства .

2. Матрицы перехода

, .

3. Разложения векторов

4. Столбцы координат векторов

, .

Задание 4. В линейном пространстве задан базис и заданы координаты векторов в этом базисе

Найти базисы подпространств , ,

, .

Убедиться в справедливости равенства .

Решение.

Для того, чтобы найти базисы подпространств, заданных своими оболочками, необходимо выделить в каждой из оболочек выделить максимальную линейно независимую подсистему, которая и является базисом подпространства. Для этого составляем матрицу по столбцам из векторов данной системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

Подпространство :

Ранг этой матрицы равен 3, и значит, что векторы линейно независимы являются базисом подпространства . Размерность подпространства равна .

Подпространство :

Сумма подпространств .

Сумма подпространств и определяется линейной оболочкой векторов, задающих эти подпространства

Базис и размерность этого подпространства ищем аналогично предыдущему. Для этого составляем матрицу, построенную из векторов по столбцам, и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

Ранг этой матрицы равен 4, и значит, что векторы линейно независимы и являются базисом суммы подпространств . Размерность суммы подпространств равна .

Пересечение подпространств .

Из определения пересечения подпространств

следует, что если то его можно представить в виде разложения по базису подпространства

а если то его можно представить в виде разложения по базису подпространства

То есть

Правая часть этого равенства представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

или

Найдем ее фундаментальную совокупность решений, приведя матрицу системы к упрощенному виду

Ранг этой системы равен r =2, а число неизвестных n=6. Значит фундаментальная совокупность решений будет состоять из n-r =2 решений. Найдем эти решения приняв за свободные неизвестные :

Получили, что набору значений (а также набору ) соответствует вектор , набору (а также набору ) соответствует вектор . Эти векторы линейно независимы и, как следует из определения фундаментальной совокупности решений, через них линейно выражаются все решения системы. Следовательно, векторы являются базисом пересечения подпространств и .

Проверяем равенство : 3+3=4+2.

Ответ.

1. Базис подпространства : векторы , ,

2. Базис подпространства : векторы , ,

3. Базис суммы подпространств : векторы , ,

4. Базис пересечения подпространства : векторы , .

Задание 5. Найти базисы и размерности суммы и пересечения подпространств и : , , если подпространства заданы как множества решений однородных систем линейных уравнений, где:

Решение.

Базисом подпространства, заданного однородной системой линейных уравнений, является фундаментальная совокупность решений этой системы. Фундаментальную совокупность будем искать приведением матрицы системы к упрощенному виду элементарными преобразованиями.

Подпространство .

Число неизвестных n равно 4, а ранг матрицы равен 2. Следовательно, размерность подпространства решений равна . В качестве свободных неизвестных выбираем и . Чтобы избежать дробных чисел, придадим свободным неизвестным сначала значения , а затем и вычислим значения главных неизвестных и .

В итоге получаем два вектора и , которые являются базисом подпространства . Размерность этого подпространства .

Подпространство . ,

Число неизвестных n равно 4, а ранг матрицы равен 3. Следовательно, размерность подпространства решений равна . В качестве свободного неизвестного выбираем . Чтобы избежать дробных чисел, придадим свободному неизвестному значение и вычислим значения главных неизвестных

В итоге получаем один вектор , который является базисом подпространства . Размерность этого подпространства .

Сумма подпространств .

Сумму подпространств удобнее искать исходя из описания подпространств линейными оболочками. Так как нам известны базисы подпространств, то эти подпространства можно описать линейными оболочками базисных векторов: . Тогда сумма подпространств запишется в виде .

Вычислим базис суммы подпространств, выделив из системы векторов максимальную линейно независимую систему

Ранг этой матрицы равен 3 и значит векторы линейно независимы и являются базисом суммы подпространств . Размерность суммы подпространств .

Пересечение подпространств .

Вектор принадлежит пересечению в том случае, если он удовлетворяет обеим системам, описывающим подпространства

Базисом пересечения будет фундаментальная совокупность решений этой системы. Приведем матрицу к простейшему виду:

Получили, что ранг матрицы равен числу неизвестных и, следовательно, система имеет только тривиальное решение . Значит и .

Проверим соотношение для размерностей подпространств

: 2+1=3+0.

Ответ.

1. Базис подпространства : векторы , ,

2. Базис подпространства : векторы , ,

3. Базис суммы подпространств : векторы , ,

4. Подпространства и не пересекаются: , .

Задание 6. Найти базис и размерность пересечения подпространств и : , , если одно из подпространств задано как множества решений однородной системы линейных уравнений, а другое подпространство задано линейной оболочкой векторов:

, , , ,

Решение.

Подпространство .

Составляем матрицу по столбцам из векторов данной системы и приводим ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

Ранг матрицы равен 2 и, значит, в матрице имеются два линейно независимых столбца. Первые два столбца линейно независимы, следовательно соответствующие им векторы также линейно независимы и их можно принять в качестве базиса подпространства : . .

Подпространство , .

Число неизвестных n равно 4, а ранг матрицы равен 1. Следовательно, размерность подпространства решений равна . В качестве свободных неизвестных выбираем и вычисляем значения главной неизвестной .

В итоге получаем три вектора , , которые являются базисом подпространства . Размерность этого подпространства .

Сумма подпространств .

Так как нам известны базисы подпространств, то эти подпространства можно описать линейными оболочками базисных векторов: , . Тогда сумма подпространств запишется в виде . Вычислим базис суммы подпространств, выделив из системы векторов максимальную линейно независимую систему

В этой матрице первые четыре столбца линейно независимы, следовательно, соответствующие им векторы также линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса суммы подпространств .

Пересечение подпространств .

Пересечение подпространств удобнее искать в том случае, когда подпространства заданы системами уравнений. Поэтому опишем подпространство системой уравнений . Так как векторы являются базисом , то они линейно независимы и составляют фундаментальную совокупность решений искомой системы . Составим матрицу из столбцов координат векторов .

Из линейной независимости столбцов матрицы следует

То есть ,

Число неизвестных n равно 4, а ранг матрицы равен 3. Следовательно, размерность подпространства решений равна . В качестве свободного неизвестного выбираем . и вычислим значения главных неизвестных