Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.
1) Функции тригонометрических функций для углов от 
до 
(прямоугольный треугольник, планиметрия);
2) Тригонометрические функции для углов от 
до 
(тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");
3) Тригонометрические функции для любого действительного числа.
Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.
К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.
Например:
1) В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен 
.
2) В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен 
. Найдите другой катет и гипотенузу.
3) 
В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, 
. Определите 
.
4) В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.
Найдите угол B.
Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.
Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
6. 
;
, ч.т.д.
; 
è 
.
С другой стороны:
è
è 
è
- теорема сложения.
и по доказанной формуле.
Для доказательства 
суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:
, 
, 
, 
.
Проведём радиус 
, длина которого равна 
, на угол 
: и получили радиус 
, где 
и на угол 
и получим радиус 
, где 
.
, 
: 
, 
.
- прямоугольник. Повернём его на угол 
вокруг точки 
:
; 
; 
, т.е.
; 
, т.е:
; 
, по 
Аналогично:
Тогда:
и т.д.
К функциям от углов 
можно прийти и из геометрических соображений.
Формулы приведения для 
и 
выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:
{определяем четность, в которой оканчивается угол 
- II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти – " - ". Изменяется ли название функции – нет, поэтому:} 
= - cos 
.
Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.
,
а затем применяется уже известная формула.
Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив 
.
Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:
={ 
, 
}=
= 
,
но:
Таким образом:
Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.
Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):
1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;
2) основные тригонометрические тождества:
Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;
3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;
4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:
Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:
Задача №1.
Доказать тождество:
Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:
8 
cos4 +sin8 
=2sin8 cos4 +2sin4 cos4 =2cos4 (sin8 +sin4 )=4cos4 sin6 cos2 , и т.д.
Задачи №2.
Упростить выражение
а) 
Можно применить формулы понижения степени:
= 
{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: 
} =
б) 
Задача №3
Преобразовать в произведение:
а) cos5 +sin8 +cos9 +cos12 =(cos5 +cos12 )+(cos8 +cos9 )=
=2cos17/2 cos7/2 +2cos17/2 cos /2=2cos17/2 (cos7/2 +cos /2)=
=4cos17/2 cos2 cos3/2 =4cos3/2 cos2 cos17/2
б) 3+4cos4 +cos8 =3(1+cos4 )+(cos4 +cos8 )=6cos22 +
+2cos6 cos2 =2 cos2 (3cos2 +cos6 )=2cos2 ((cos2 +|cos6 )+
+2cos2 )=2cos2 (2cos4 cos2 +2cos2 )=4cos22 (cos4 +cos2 )=
=4cos22 cos22 =8cos42
Задача №4
Найти sin4 +cos4 , если известно, что:
sin -cos =1/2
sin4 +cos4 =(sin2 +cos2 )2-2sin2 cos2 =1-2sin2 cos2 =
=1-1/2sin22 ={sin4 -cos =1/2 
(sin -cos )2=
=1-2sin cos =1/4 
sin2 =3/4}= 
Задача №5
Вычислить:
sin 
=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу 
и получим}= 
Заключение
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
Литература
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.