Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Введение.

В радиотехнике широкое применение находят всевозможные колебательные контура. Основное назначение радиотехнических колебательных цепей - получение с их помощью частотной избирательности, т.е. выделения полезного сигнала и подавления всех остальных сигналов и помех. Ввиду того что с помощью одиночного колебательного контура нельзя получить высокую избирательность при широкой полосе пропускания, используют связанные контуры. В радиотехни­ке такие контуры применяются в основном как фильтры промежуточ­ной частоты (ФПЧ).

Основные понятия.

Два контура называются связанными, если колебания, происходя­щие в одном из них, захватывают другой контур. Связь между кон­турами может осуществляться через электрическое поле (благодаря емкости) или через магнитное поле (благодаря взаимоиндуктивности или индуктивности). На рис. 1 показаны три разновидности связи двух колебательных контуров: а) трансформаторная, когда связь между контурами осуществляется благодаря взаимоиндуктивности между катушками L1 и L2; б) автотрансформаторная, когда связь между контурами осуществляется непосредственно через индуктивность связи L1,2; в) емкостная, когда связь между контурами осуществляется через емкость связи С3. Наиболее часто в радиотехнике применяется трансформаторная связь, поэтому все дальнейшие выкладки проведем для этого вида связи.

Рис. 1. Виды связи двух колебательных контуров

Предположим, что в первом контуре на рис.1, а протекает ток i₁, а второй контур разомкнут. Тогда отношение напряжения, индуцированного в катушке L2, к напряжению в катушке L1 выразится коэффициентом

который называется степенью связи. Аналогично, если предположить разомкнутым первый контур, а источник э.д.с. подключить ко второму контуру, то при протекании в нем тока i₂ получим

Коэффициент связи есть корень квадратный из произведения степеней связи . (1)

При трансформаторной связи . (2)

Если умножить числитель и знаменатель (2) на w, то получим общее выражение для коэффициента связи, пригодное и для других видов связи

(3)

где X_M - сопротивление связи.

Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Рассмотрим систему двух колебательных контуров с трансформаторной связью, в которой к первому контуру подключен источник э.д.с. e (t) (рис. 2,а), а r₁ и r₂ - выделенные для анализа сопротивления потерь в контурах.

а

б

Рис.2. Система двух колебательных контуров с трансформаторной связью (а) и ее эквивалентная схема (б)

Запишем для каждого контура уравнения Кирхгофа

(4)

Считая э.д.с. синусоидальной и режим в цепи установившимся, можно воспользоваться символическим методом анализа. Тогда ; и (4) принимает вид

(5)

Обозначив реактивное сопротивление первого и второго контуров через X ₁ и X ₂, (5) можно записать так:

(6)

Найдем из второго уравнения

(7)

Обозначив w М = X _СВ (сопротивление связи), (7) можно переписать так:

Подставив значение из (7) в первое уравнение системы (6)

Освободившись от мнимости в знаменателе, получим

или

так как .

Поделив в полученном выражении приложенную э.д.с. на ток запишем выражение для эквивалентного входного сопротивления системы двух связанных колебательных контуров

(8)

Модуль сопротивления Z _1Э равен

(9)

Анализ (8) показывает, что в результате связи первого контура со вторым в первый контур как бы вносятся два сопротивления: активное

и реактивное (10)

Таким образом, систему двух связанных колебательных конту­ров можно заменить одним эквивалентным контуром (рис. 2, б), в который вносится сопротивление

Суммарное активное сопротивление R _1э = r ₁+ R _вн всегда положи­тельное, а знак суммарного реактивного сопротивления Х _1э =Х ₁ +Х _вн определяется настройкой каждого из контуров в отдельности (знаки X ₁ и Х ₂ и, следовательно, Х _вн зависят от частоты, на которую настроен каждый контур).