Спектр дискретных сигналов




ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Цифровая обработка сигналов (ЦОС), как одно из наиболее динамично развиваемых и перспективных направлений, имеет большое фундаментальное и прикладное значение в современной радиотехнике. Удельный вес ЦОС в радиоэлектронных устройствах и системах по мере повышения ее быстродействия и снижения стоимости все более возрастает. Ее методы используются для разработки и исследования радиоэлектронных устройств и систем различного назначения, а ее средства – для их аппаратно-программной реализации. Обучение методам и средствам ЦОС осуществляется в рамках дисциплины «Цифровая обработка сигналов». Она охватывает широкий круг теоретических вопросов, изучаемых на лекционных и лабораторных занятиях и в процессе самостоятельной работы студентов.

Лабораторный практикум (часть I) включает изучение базовых вопросов дискретизации сигналов по времени и их цифрового представления, спектрального анализа дискретных сигналов, применения методов ЦОС в различных радиоэлектронных системах.

Лабораторный практикум предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы», а также бакалаврам и магистрантам по направлениям подготовки «Радиотехника» и «Биотехнические системы», в образовательных программах которых предусмотрено изучение дисциплины «Цифровая обработка сигналов».


Лабораторная работа №1

Дискретизация сигналов

 

Цель работы. Изучить вопросы аналогово-цифрового и цифро-аналогового преобразования сигналов. Исследовать процедуру дискретизации и восстановления аналоговых сигналов.

 

Теоретические сведения

Аналоговый сигнал является вещественнозначной функцией вещественного непрерывного аргумента (времени) источниками которого являются различные физические процессы и явления, непрерывно меняющиеся во времени (или в пространстве).

Дискретный сигнал – это кусочно-непрерывная вещественнозначная функция дискретного аргумента . Дискретный сигнал представляет собой набор отсчетов некоторой величины, измеренной в дискретные моменты времени. Интервал между двумя соседними отсчетами называется шагом дискретизации, а обратная величина частотой дискретизации (или круговая частота дискретизации).

Устройства, преобразующие аналоговый сигнал в цифровой, называется аналогово-цифровым преобразователем (АЦП). Обратное преобразование цифровых сигналов в аналоговые выполняется цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП).

Основными характеристиками АЦП являются шаг дискретизации по времени (или частота дискретизация) и шаг квантования по уровню (или разрядность). Под разрядностью понимается число двоичных разрядов используемых для записи одно квантованного значения.

Дискретный сигнал можно получить из аналогового посредством процедуры дискретизации во времени. В этом случае дискретные сигнал представляет собой последовательность отсчетов, значения которых в точности равны значениям исходного аналогового сигнала в дискретные моменты времени . Так как отсчеты сигнала представляют собой конечный набор отсчетов, их можно пронумеровать целыми числами.

Цифровой сигнал – сигнал дискретный и по времени и по значениям. Цифровой сигнал может быть получен из дискретного путем процедуры квантования по уровню.

Таким образом, чтобы получить из аналогового сигнала цифровой необходимо провести процедуру дискретизации по времени и квантования по уровню. В результате мы получим вместо непрерывного сигнала, последовательность целых чисел.

Математически дискретный сигнал определяют:

· функцией дискретного времени , соответствующей выборкам аналогового сигнала в дискретные равноотстоящие моменты времени:

· функцией номера выборки , в общем случае не связанной с временем:

· функцией непрерывного времени , получаемой умножением аналогового сигнала на дискретизирующую в виде периодической последовательности -импульсов с периодом повторения , где -импульс бесконечной амплитуды, нулевой длительности и единичной площади , задержанный на отсчетов и имеющий размерность частоты или . Графически дискретные сигналы представляются функцией дискретного времени или номера выборки (рис. 1.1).

·

Рис. 1.1. Графики непрерывного и дискретного сигналов

 

Сигналы, определяемые функцией номера выборки , называют также числовыми, или дискретными, последовательностями. Приводимую на графиках функцию непрерывного времени отождествляют либо с аналоговым сигналом , соответствующим дискретному сигналу , либо с некоторой условной огибающей дискретной последовательности , более наглядно отображающей ее функциональную зависимость.

При дискретизации аналогового сигнала с финитным спектром, ограниченным максимальной частотой , отвечающей условию (рис. 1.2), спектр дискретного сигнала в основной полосе частот (при ) точно совпадает (до постоянного множителя ) со спектром аналогового сигнала: . Условие (или ) отвечает теореме отсчетов Котельникова.

 

Рис. 1.2. Спектральные преобразования при дискретизации аналогового сигнала с финитным спектром при

 

В этом случае возможно точное восстановление аналогового сигнала по его дискретным выборкам с помощью идеального фильтра-интерполятора нижних частот (ФНЧ) с прямоугольной частотной характеристикой равной 1 при и равной нулю при (на рис. 1.2 ). Сигнал на выходе ФНЧ соответствует обратному преобразованию Фурье депериодизированного спектра дискретного сигнала , имеющего размерность спектральной плотности:

.

Подставив сюда и заменив для общности на , получим

. (1.1)

Выражение (1.1) является разложением аналогового сигнала в ряд по базисным интерполирующим функциям (или ) с весовыми коэффициентами (ряд Котельникова). В соответствии с ним и осуществляется математически восстановление аналогового сигнала по его дискретным выборкам.

При квантовании по уровню бесконечное множество возможных значений дискретного сигнала в заданном максимальном диапазоне его изменения замещается конечным числом уровней квантования дискретного квантованного сигнала . С одним из них в соответствии с определенным правилом или алгоритмом и отождествляется точное мгновенное значение дискретного сигнала (рис. 1.3).

 

Рис. 1.3. Иллюстрация квантования сигнала по уровню

 

Интервал между уровнями квантования называется шагом квантования по уровню .

Квантование возможно с усечением и с округлением. Квантованный дискретный сигнал определяется при усечении как

, (1.2)

при округлении как

, (1.3)

где − это целая часть заключенного в скобки отношения, соответствующая номеру уровня квантования, с которым отождествляется точное значение квантуемого дискретного сигнала: с ближайшим меньшим − при усечении и ближайшим – при округлении. Для однополярного сигнала , для двухполярного .

Номер уровня квантования при известном значении шага квантования однозначно определяет значение дискретного квантованного сигнала и, следовательно, является его цифровым (числовым) эквивалентом. Представленный в двоичном коде (), он соответствует цифровому сигналу на выходе АЦП . Число двоичных разрядов АЦП связано с числом уровней квантования соотношением . Например, для 10-разрядного АЦП , для АЦП разрядностью 12 бит − и т.д.

Получаемый двоичный код двухполярного АЦП представляет собой целое число со знаком в прямом или дополнительном коде. Такое представление соответствует целочисленному кодированию цифрового сигнала. Оно осуществляется в соответствии с алгоритмом

. (1.4)

Разряды целочисленного кода (рис. 1.4, а) имеют веса, убывающие от (старший знаковый разряд) до (младший разряд); – число разрядов или бит цифрового сигнала без учета знакового разряда.

Наряду с целочисленным в цифровой обработке сигналов широко используется представление двоичных чисел правильными дробями – так называемое дробное кодирование цифрового сигнала. Оно обеспечивает простое ограничение их разрядности в процессе обработки путем отбрасывания (усечения или округления) лишних младших разрядов.

Дробное представление цифрового сигнала АЦП получается в соответствии с алгоритмом

. (1.5)

Значения сигнала при этом не превышают по модулю 1 и заключены в пределах: ; веса его разрядов убывают от (знаковый разряд) до (младший значащий разряд) (рис. 1.4, б).

 

а б

Рис. 1.4. Целочисленное (а) и дробное (б) представление цифрового сигнала

 

Таким образом, дробное и целочисленное представления цифрового сигнала отличаются только интерпретацией весов разрядов двоичного кода и связаны соотношениями

.

Код АЦП при дробном представлении с фиксированной точкой преобразуется к стандартному формату кодов процессора ЦОС (слово, двойное слово, расширенное слово) путем дополнения его справа недостающим числом нулевых бит.

Значение квантованного сигнала в вольтах можно найти по его цифровому коду как (вольт).

Например: при (восьмиразрядное АЦП) можно отобразить целых чисел: от 0 до 255. Максимальная амплитуда сигнала на входе АЦП является фиксированной и также является характеристикой АЦП. Весь динамический диапазон значений входного сигнала простирается от до . Этот диапазон делится на 256 уровней, тогда шаг квантования будет равен . Следовательно, связь между разрядностью и шагом квантования: .

Восстановление аналогового сигнала из дискретного возможно если шаг дискретизации удовлетворяет теореме Котельникова.

 

 


Практическая часть

1. Провести исследование восстановления сигнала из дискретной и цифровой выборки в зависимости от шага дискретизации. Параметры сигнала в соответствии с вариантом представлены в табл. 1.1. Построить графики исходного (аналогового), дискретизированного, цифрового и восстановленного сигналов для нескольких значений частоты дискретизации и числа уровней квантования (разрядности 8, 12, 16).

2. Исследовать зависимости погрешности восстановления сигналов от частоты дискретизации и числа уровней квантования (разрядности).

 

Таблица 1.1

№ вар Параметры сигналов
Полигармонический сигнал АМ сигнал Последовательность прямоугольных импульсов Последовательность треугольных импульсов
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.
  , , , Гц, Гц, Гц. , , Гц, Гц. , Гц, . , Гц.

 

Контрольные вопросы

1. Какие преобразования имеют место при цифровой обработке сигналов?

2. Что такое дискретный сигнал и дискретная последовательность?

3. Из каких условий выбирается частота дискретизации аналоговых сигналов?

4. Какова математическая модель квантования сигнала по уровню?

5. Как осуществляется цифровое кодирование сигнала?

6. Сформулируйте теорему Котельникова.

7. При каких условиях возможно точное восстановление аналогового сигнала по его дискретным выборкам?

 


Лабораторная работа №2

Спектр дискретных сигналов

 

Цель работы. Изучить вопросы спектрального анализа дискретных сигналов. Исследовать алгоритмы дискретного преобразования Фурье.

 

Теоретические сведения

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является базовым алгоритмом цифровой обработки сигналов в частотной области. Благодаря наличию эффективных алгоритмов его вычисления – алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) – ДПФ широко используется для целей цифровой фильтрации и спектрально-корреляционного анализа сигналов.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), соответствует выборкам непрерывного преобразования Фурье дискретной последовательности конечной длины , вычисленным на дискретных равностоящих частотах (рис. 2.1):

, (2.1)

где – шаг дискретизации по частоте; – число вычисляемых частотных выборок ДПФ в полосе частот , в общем случае не равное ; – номер частотной выборки.

В соответствии с числом вычисляемых частотных выборок ДПФ называют -точечным и представляют как в виде функции (2.1) дискретной частоты , так и номера частотной выборки :

,

. (2.2)

Рис. 2.1. Дискретизация сигнала в частотной области

 

Выбор шага дискретизации по частоте при вычислении ДПФ определяется возможностью восстановления сигнала и его непрерывного спектра по частотным выборкам ДПФ.

Восстановление сигнала по дискретизированному по частоте спектру осуществляется с помощью обратного ДПФ (ОДПФ). Как и прямое ДПФ (2.1), ОДПФ может быть получено путем дискретизации по частоте непрерывного обратного преобразования Фурье:

.

Используя замены ; ∑; , находим

. (2.3)

Сигнал периодичен с периодом : , Он является периодическим повторением сигнала : , так как дискретизация сигнала в частотной области приводит к его периодизации во временной.

При , , – сигнал на интервале точно совпадает с исходным сигналом , дополненным нулевыми отсчетами, периодически продолжаясь за пределами этого интервала (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2. Сигнал, соответствующий ОДПФ при

 

ОДПФ, вычисляемое на интервале , обеспечивает в этом случае точное восстановление сигнала по его ДПФ.

При () имеет место перекрытие периодизированных с периодом последовательностей (явление наложения во временной области), так что при (рис. 2.3). Это исключает возможность точного восстановления сигнала по его дискретизированному спектру.

 

Рис. 2.3. Сигнал, соответствующий ОДПФ при

 

Соотношение определяет условие выбора шага дискретизации по частоте , которое отвечает также теореме Котельникова в частотной области: спектр сигнала конечной длительности может быть точно восстановлен по его частотным выборкам, взятым с вышеуказанным шагом по частоте .

Вычисление ДПФ по числу точек , превышающему длину последовательности (дополняемую в этом случае () нулевыми отсчетами), эквивалентно интерполяции по частоте спектра, дискретизированного с максимально возможным шагом . Дополнение нулевыми отсчетами используется для повышения частотного разрешения ДПФ.

Таким образом, -точечное ДПФ соответствует спектру периодизированной с периодом исходной последовательности конечной длины . ДПФ совпадает также с дискретным рядом Фурье периодической последовательности с периодом , имеющей линейчатый спектр.

ОДПФ (2.3), вычисляемое по частотным выборкам ( -точечное ОДПФ), как и ДПФ (2.2) представляют также функцией номера частотной выборки :

,

. (2.4)

Множитель может присутствовать в выражении либо ОДПФ, либо ДПФ.

Вычисление ОДПФ и ДПФ в соответствии с (2.2), (2.4) требует (при ) операций умножения и операций сложения комплексных чисел. Оба преобразования используют единый вычислительный алгоритм, основанный на их достаточно простой взаимосвязи:

,

где − операция комплексного сопряжения.

ДПФ обладает всеми свойствами непрерывного (по частоте ) преобразования Фурье дискретных последовательностей, в том числе его периодичностью и симметрией.

Наиболее важной для цифровой фильтрации является связь ДПФ и свертки дискретных последовательностей. Линейная свертка определяется для конечных последовательностей длиной и длиной :

.

Сигнал линейной свертки (рис. 2.4) имеет длину . Чтобы применить в данном случае теорему о свертке, ДПФ последовательностей и необходимо вычислить по одинаковому числу точек , соответствующему длине последовательности , с одинаковым шагом дискретизации по частоте , т.е.

или

, .

При этом последовательности и дополняются , нулевыми отсчетами:

, ,

что обеспечивает в частотной области интерполяцию их дискретизированного спектра.

 

Рис. 2.4. Иллюстрация ДВС

 

Сигнал в соответствии с данным свойством также может быть определен с помощью ОДПФ от произведения -точечных ДПФ свертываемых последовательностей , :

(2.5)

или

.

Выражение (2.5) представляет алгоритм вычисления линейной свертки конечных последовательностей в частотной области. При использовании рассматриваемых далее алгоритмов быстрого преобразования Фурье его называют также алгоритмом быстрой свертки. Очевидно, что ДПФ линейной свертки последовательностей конечной длины , эквивалентно ДПФ круговой свертки последовательностей, полученных путем периодизации их с периодом



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: