Cлучайные события и их вероятности. Алгебра событий.




ГЛАВА Теория вероятностей.

Случайный эксперимент (СЭ). Математическая модель СЭ.

Эксперимент ≡ исследование ≡ наблюдение ≡ опыт ≡ …

СЭ: 1) возможность многократного повторения; 2) «априорная неоднозначность» результата - - исхода ω конкретного эксперимента из множества возможных исходов - = { ω }.

 

В дальнейшем

- все взаимоисключающие исходы ω СЭ будем называть «элементарными событиями »;

- будем считать, что множество элементарных событий дискретное - конечное ={1,,…, n } или счетное ={i; i=1,2,…. }

 

Определение 1.1.

(Дискретным ) Пространством элементарных событий (ПЭС) называется любое полное множество ={} возможных элементарных событий случайного эксперимента.

Построение математической модели СЭ начинается с построения ПЭС.

СЭ1«бросание игральной кости»: i - номер выпавшей грани → ПЭС: 1 = {1,2,3,4,5.6};
2 ={чет., нечет.}
; 3 ={1,не 1} НО: {1,чет}, {1,чет, нечет} – НЕ ПЭС!!

CЭ2 – «стрельба по мишени до первого поражения». - количество израсходованных патронов →

= {1,2,3,.... } - счетное бесконечное ПЭС.

 

Пусть в СЭ ={ i; i=1,2,...,n} выполнена серия из m испытаний, причем в mi случаях зафиксирован исход i и относительная частота исхода i - i = mi /m:

!!! В ТВ рассматриваются лишь такие СЭ, которые обладают свойством устойчивости о тносительных частот исходов: при многократном повторении длинных серий случайного экспериментаотносительные частоты i исходов i, как правило, меняются мало и при неограниченном увеличении длины серии "сходятся, концентрируются, сгущаются" к числу Pi [0,1] -

Определение 2.1.
Если каждому элементарному событию поставлено в соответствие число pi=P(i):
pi[0,1]и
,

это число называется вероятностью элементарного события/исхода i, аа множество
называется распределением вероятностей на ПЭС .
Пару множеств называют математической моделью дискретного случайного эксперимента.

СЭ1:

СЭ2:

 

Cлучайные события и их вероятности. Алгебра событий.

 

Теория вероятностей «начинается» с задания (построения) математической модели СЭ и решает задачу нахождения вероятности случайного события в рамках заданной математической модели.

Пусть задана (выбрана, построена) математическая модель дискретного СЭ: {; P}.

Определение 1.2. Случайным СобытиемA на дискретном ПЭС
называется любоеего подмножество А={
А}, при этом составляющие случайное событие элементарные исходы АА называются благоприятными для случайного события А: если эксперимент закончился одним из благоприятных исходов А, говорят, что в результате СЭ произошло случайное событие А.
è В частности, событиями на ПЭС являются:
- ; .
На конечном ПЭС определено 2n случайных событий.

 

Определение 2.2. (Аксиома аддитивности). Вероятностью P(A) События А называется число P(A), равное сумме вероятностей элементарных событий, благоприятных А:

А

Замечание. Поскольку определения 1.2 и 2.2 даны «на языке множеств», дадим вероятностную интерпретацию «алгебры событий» - операций над множествами благоприятных исходов.

Пусть

1. Произведением событий А и В называется событие С, содержащее все исходы, благоприятные для событий А и В одновременно: , при этом

События А и В называются несовместными, если они не имеют общих исходов, т.е.

[1]

События А и В называются независимыми, если

2. Суммой событий А и В называется событие С, содержащее все исходы , благоприятные для события А или события В:


è Теорема сложения. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
[2]

Событие называется противоположным событию А,

если оно состоит из всех исходов, неблагоприятных для А, т.е

.

è [3]

 

 

ЭКЗ +1. Доказать формулу:

[4]

Пример.

«А - выпала грань с нечетным номером» ó

B - " номер грани кратен 3 "; В={3,6};P(B)=2/6. А+В={1,3,5,6} P(A+B)=4/6=2/3;

A∙B={3} Р(А∙В)=1/6 è P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=

Алгоритм решения задачи нахождения вероятности события С в случайном эксперименте:

(I) построить (задать, выбрать) математическую модель СЭ - ,
определить на случайное событие С={С} и вычислить «по определению» P(С) =

ИЛИ

(2) определитьС и вычислить Р(С), используя алгебру событий и формулы [1-4]:

[1]

[2]

[3]

[4]



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: