Неопределённый интеграл.

Понятие первообразной функции.

Функция называется первообразной функцией функции на интервале , если всюду на интервале существует производная и эта производная .

Замечание. В определении 1.1 интервал может быть заменён на всю бесконечную прямую , либо на одну из бесконечных полупрямых .

Примеры: функция является первообразной функции на интервале , так как всюду на этом интервале ; функция является первообразной функции на бесконечной прямой , так как в любой точке этой прямой ; функция является первообразной функции на бесконечной полупрямой , так как в каждой точке полупрямой .

Если функция является первообразной функции на интервале , то функция , где – произвольная постоянная, также является первообразной функции на интервале, так как .

Следующая теорема устанавливает связь между различными первообразными одной и той же функции.

Теорема 1.1. Если и – любые две первообразные функции на интервале , то всюду на этом интервале , где – некоторая постоянная.

Доказательство. Обозначим через разность функций и . Тогда в каждой точке интервала существует . Из теоремы 1.4 главы 7 следует, что . Теорема 1.1 доказана.

Следствие из теоремы 1.1. Если является одной из первообразных функции на интервале , то любая первообразная функции на этом интервале имеет вид , где - некоторая постоянная.

Неопределённый интеграл.

Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределённым интегралом и обозначается символом

Знак называется знаком интеграла, выражение - подынтегральным выражением, а сама функция - подынтегральной функцией, – переменной интегрирования.

Из приведенного выше следствия непосредственно вытекает, что если является одной из первообразных функции на интервале , то

где - произвольная постоянная.

3. Основные свойства неопределённого интеграла.

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Это равенство непосредственно вытекает из равенства (1):

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Действительно, если одна из первообразных функции , то

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

В самом деле, так как то .

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

4. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т.е.

где .

Действительно, если первообразная функции , то – первообразная функции , так как . Из чего следует, что

, где .

5. Неопределённый интеграл от суммы или разности двух функций равен соответственно сумме или разности неопределённых интегралов этих функций, т.е.

Действительно, пусть и первообразные функций и соответственно:

Так как , то функция является первообразной функции .

, где Следовательно

4. Таблица основных интегралов.

Приведённые ниже интегралы принято называть табличными интегралами.

2. .

8. .

10.

11.

12. .

13.

Справедливость всех приведённых формул, за исключением формул 4, 12, 13, непосредственно следует из определения неопределённого интеграла и таблицы производных элементарных функций. Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13. Формула 4 справедлива для любого интервала, не содержащего точки . Действительно, если то из равенства заключаем, что , а если , то из равенства заключаем, что . Следовательно, формула 4 справедлива для любого .