Определение математической модели АС в виде передаточных функций

υ^*U (S) δ_в (S) ω _Z (S) υ (S)

υ (S) ω _Z (S)

Рисунок 6.

«Структурная схема АС, отвечающая преобразованной математической модели».

Произведём преобразование полученной ранее передаточной функции (1.6).

(1.8)

-коэффициент усиления ЛА

(1.9)

_- постоянная времени;

(1.10)

_- коэффициент демфирования;

(1.11)

(1.12)

Подставив (1.9),(1.10),(1.11),(1.12) в формулу (1.8) получим

(1.13)

Найдём передаточную функцию разомкнутой системы, т.е. исходную систему необходимо привести к виду, показанному на рисунке 7

Рисунок 7.

Для того чтобы перейти к данной модели необходимо сделать ряд преобразований (рис.8, 9).

Рисунок 8.

; (1.14)

Рисунок 9.

; (1.15)

(1.16)

_,где - многочлен числителя, - многочлен знаменателя,

_.(1.17)

Найдем передаточную функцию замкнутой системы, тем самым преобразуем АС вида, указанного на рисунке 7, к следующему виду (рис. 10):

Рисунок 10.

(1.18)

где _,

_,(1.20)

Построение частотных характеристик АС

Определение корней характеристического уравнения разомкнутой системы

Используя математический пакет программ, вычислим корни характеристического уравнения вида: _.

(1.21)

Разложим многочлен знаменателя передаточной функции разомкнутой системы на множители.

(1.22)

Передаточная функция в виде произведения элементарных звеньев

Передаточную функцию (1.22) можно представить в виде элементарных звеньев.

- пропорциональное звено (коэффициент усиления разомкнутой системы). (1.23)

- форсирующее звено 1 порядка. (1.24)

- интегрирующее звено

- апериодическое звено 1 порядка, где

(1.25)

- апериодическое звено 1 порядка, где

. (1.26)

Определим частоту среза для каждого звена

(1.27)

Определим К_раз

(1.28).

Построение ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ

Используя пакет программ SIAM, построим ЛАЧХ, ЛФЧХ (рис.11) и АФЧХ (рис. 12).

Рисунок 11.

«ЛАЧХ,ЛФЧХ»

Рисунок 12.

«АФЧХ»

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ, используя аналитический метод, все расчёты представлены в таблице 2 и таблице 3.

Таблица2

«ЛАЧХ»

ω	0,01	0,1	0,930752		1,3036		14,97886
20lgA1ω	8,048798	8,048798	8,048798	8,048798	8,048798	8,048798	8,048798	8,048798	8,048798
20lgA2ω	0,000501293	0,04984501	3,0103	3,333133	4,715332	20,66078	24,14963	40,6237	60,62332
20lgA3ω			0,62332		-2,30289	-20	-23,5096	-40	-60
20lgA4ω	-1,93565E-06	-0,0001936	-0,01674	-0,01931	-0,03277	-1,60078	-3,0103	-16,5868	-36,4914
20lgA5ω	-5,42568E-06	-0,0005425	-0,04675	-0,05392	-0,09124	-3,52049	-5,8013	-21,0013	-40,9671
lgω	-2	-1	-0,03117		0,115144		1,175479
СумLg	48,04929	28,0979	11,6184	11,30844	10,3369	3,5878	-0,1232	-28,9161	-68,7868

Таблица3

«ЛФЧХ»

ω	0,01	0,1	0,930752		1,303600	10,000000	14,97886
φ1
φ2	0,61556217	6,13233485		47,05408	54,4737	84,6825	86,44434	89,46673	89,94667
φ3	-0,439511013	-4,3866054	-35,5263	-37,492	-45	-82,5728	-85,0261	-89,2531	-89,9253
φ4	-90	-90	-90	-90	-90	-90	-90	-90	-90
φ5	-0,074594832	-0,7459395	-6,93576	-7,4506	-9,70452	-66,9379	-90	-163,363	-178,326
lgω	-2	-1	-0,03117		0,115144		1,175479
Сумф	-89,89854368	-89,00021	-87,4621	-87,8886	-90,2308	-154,828	-178,582	-253,15	-268,305

где - амплитудная функция,

- фазовая функция

; ;

; ; (1.29)

; ;

; .

По этим вычислениям построим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис.13,14).

Рисунок 13.

Рисунок 14.

Исследование устойчивости АС

Анализ устойчивости с помощью критерия Гурвица

Запишем характеристический многочлен замкнутой системы, т.е. знаменатель передаточной функции замкнутой системы.

. (2.1)

По критерию Гурвица для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при все главные определители матрицы Гурвица были положительными.