Метод с «наказанием случайностью»

 

Пусть число изменений Х будет равено 35.

 

1.Первая точка.

 

Шаги для первой точки:

xⁱ⁺¹=xⁱ+∆x

xⁱ⁺¹=xⁱ+h*ε,

ε_i^н= ε_i √ε ₁²+ε₂²+ε₃²

ε_i=ε _i^н-0.5

Используем таблицу случайных чисел.

1) ε₁=0,6263, ε₂=0,4989, ε₃=0,3131

ε₁^н=0, 6263/√0,6263²+0,4989²+0,3131²=0,73

ε₂^н=0,4989/√0,6263²+0,4989²+0,3131²=0,58

ε₃^н=0,3131/√0,6263²+0,4989²+0,3131²=0,36

ε₁=0,73-0,5=0,23

ε₂=0,58-0,5=0,08

ε₃=0,36-0,5=-0,14

∆x₁=0,23*5=1,2

∆x₂=0,08*5=0,4

∆x₃=-0,14*5=-0,7

Первый шаг (1,2;0,4;-0,7).

 

2) ε₁=0,1711, ε₂=0,4068, ε₃=0,3639

ε₁^н=0,1711/√0,1711²+0,4068²+0,3639²=0,30

ε₂^н=0,4068/√0,1711²+0,4068²+0,3639²=0,71

ε₃^н=0,3639/√0,1711²+0,4068²+0,3639²=0,64

ε₁=0,3-0,5=-0,2

ε₂=0,71-0,5=0,21

ε₃=0,64-0,5=0,14

∆x₁=-0,2*2=-0,4

∆x₂=0,21*2=0,4

∆x₃=0,14*2=0,3

Второй шаг (-0,4;0,4;0,3).

 

3) ε ₁=0,8337, ε₂=0,6263, ε₃=0,4205

ε₁^н=0,8337 /√0,8337 ²+0,6263 ²+0,4205 ²=0,74

ε₂^н=0,6263 /√0,8337 ²+0,6263 ²+0,4205 ²=0,56

ε₃^н=0,4205 /√0,8337 ²+0,6263 ²+0,4205 ²=0,37

ε₁=0,74-0,5=0,24

ε₂=0,56-0,5=0,06

ε₃=0,37-0,5=-0,13

∆x₁=0,24*2=0,5

∆x₂=0,06*2=0,1

∆x₃=-0,13*0,8=-0,3

Третий шаг (0,5;0,1;-0,3)

 

4) ε₁=0,0998, ε₂=0,0525, ε₃=0,3276

ε₁^н=0,0998 /√0,0998 ²+0,0525 ²+0,3276 ²=0,29

ε₂^н=0,0525 /√0,0998 ²+0,0525 ²+0,3276 ²=0,15

ε₃^н=0,3276 /√0,0998 ²+0,0525 ²+0,3276 ²=0,95

ε₁=0,29-0,5=-0,21

ε₂=0,15-0,5=-0,35

ε₃=0,95-0,5=0,45

∆x₁=-0,21*0,5=-0,1

∆x₂=-0,35*0,5=-0,2

∆x₃=0,45*0,5=0,2

Четвертый шаг (-0,1;-0,2;0,2)

 

5) ε₁=0,4721, ε₂=0,9250, ε₃=0,7658

ε₁^н=0,4721 /√0,4721²+0,9250 ²+0,7658 ²=0,37

ε₂^н=0,9250 /√0,1656 ²+0,5470 ²+0,9647 ²=0,72

ε₃^н=0,7658 /√0,1656 ²+0,5470 ²+0,9647 ²=0,59

ε₁=0,37-0,5=-0,13

ε₂=0,72-0,5=0,22

ε₃=0,59-0,5=0,09

∆x₁=-0,13*2=-0,3

∆x₂=0,22*2=0,4

∆x₃=0,09*2=0,2

Пятый шаг (-0,3;0,4;0,2)

 

6) ε₁=0,7818, ε₂=0,2689, ε₃=0,2893

ε₁^н=0,7818 /√0,7818 ²+0,2689 ²+0,2893 ²=0,89

ε₂^н=0,2689 /√0,7818 ²+0,2689 ²+0,2893 ²=0,31

ε₃^н=0,2893 /√0,7818 ²+0,2689 ²+0,2893 ²=0,33

ε₁=0,89-0,5=0,39

ε₂=0,31-0,5=-0,19

ε₃=0,33-0,5=-0,17

∆x₁=0,39*0,5=0,2

∆x₂=-0,19*0,5=-0,1

∆x₃=-0,17*0,5=-0,1

Шестой шаг (0,2;-0,1;-0,1)

 

7) ε₁=0,3347, ε₂=0,6743, ε₃=0,3517

ε₁^н=0,3347 /√0,3347 ²+0,6743 ²+0,3517 ²=0,40

ε₂^н=0,6743 /√0,3347 ²+0,6743 ²+0,3517 ²=0,81

ε₃^н=0,3517 /√0,3347 ²+0,6743 ²+0,3517 ²=0,42

ε₁=0,40-0,5=-0,1

ε₂=0,81-0,5=0,31

ε₃=0,42-0,5=-0,08

∆x₁=-0,1*1=-0,1

∆x₂=0,31*1=0,3

∆x₃=-0,08*1=-0,1

Седьмой шаг (-0,1;0,3;-0,1)

 

10) ε₁=0,7818, ε₂=0,6136, ε₃=0,8440

ε₁^н=0,7818 /√0,7818 ²+0,6136²+0,8440²=0,59

ε₂^н=0,6136 /√0,7818 ²+0,6136²+0,8440²=0,47

ε₃^н=0,8440 /√0,7818 ²+0,6136²+0,8440²=0,64

ε₁=0,59-0,5=0,09

ε₂=0,47-0,5=-0,03

ε₃=0,64-0,5=0,14

∆x₁=0,09*2=0,2

∆x₂=-0,03*2=-0,1

∆x₃=0,14*2=0,3

Восьмой шаг (0,2;-0,1;0,3)

 

Таблица 8. Первая точка

№	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	У4	У5	Уср	Комментарии
				31,050	32,900	29,729	33,429	32,636	31,949
	3,2	2,4	1,3	60,085	57,442	61,407	59,821	61,671	60,0852	Шаги 1,2;0,4;-0,7. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	0,8	1,6	2,7	15,668	17,254	15,404	15,139	14,347	15,5624	Улучшение
	-0,4	1,2	3,4	15,261	11,296	16,053	14,203	11,296	13,6218	Улучшение
	-1,6	0,8	4,1	22,692	21,106	25,863	23,485	25,863	23,8018	Ухудшение
	-0,8	1,6	3,7	15,974	13,331	16,238	13,067	14,388	14,5996	Шаги:-0,4;0,4;0,3. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
		0,8	3,1	11,388	12,445	11,652	10,859	14,823	12,2334	Улучшение
	0,4	0,4	2,8	13,077	9,905	10,169	8,848	13,869	11,1736	Улучшение
	0,8		2,5	11,870	8,699	8,170	9,491	11,077	9,8614	Улучшение
	1,2	-0,4	2,2	12,525	12,261	9,882	12,789	9,618	11,415	Ухудшение
	1,3	0,1	2,2	10,303	11,624	12,682	15,324	13,739	12,7344	Шаги: 0,5;0,1;-0,3. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	0,3	-0,1	2,8	10,666	11,194	9,873	8,287	8,816	9,7672	Улучшение
	-0,2	-0,2	3,1	9,862	13,298	14,091	10,391	14,619	12,4522	Ухудшение
	0,2	-0,3		8,967	10,288	10,024	9,759	9,759	9,7594	Шаги: -0,1;-0,2;0,2. Улучшение
	0,1	-0,5	3,2	11,252	15,216	12,838	12,309	12,045	12,732	Ухудшение
	-0,1	0,1	3,2	15,000	12,622	12,153	13,150	14,267	13,4384	Шаги: -0,3;0,4;0,2. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	0,5	-0,7	2,8	9,273	8,479	10,858	10,330	7,951	9,3782	Улучшение
	0,8	-1,1	2,6	9,046	10,632	6,403	9,574	7,989	8,7288	Улучшение
	1,1	-1,5	2,4	9,608	5,644	9,608	5,379	6,701	7,3880	Улучшение
	1,4	-1,9	2,2	5,144	8,844	6,202	6,994	3,823	6,2014	Улучшение
	1,7	-2,3		5,698	2,791	5,169	6,491	4,906	5,0110	Улучшение
		-2,7	0,8	-0,316	0,213	3,648	3,384	0,741	1,5340	Улучшение
	2,3	-3,1	0,6	0,630	2,480	-1,484	2,216	-1,220	0,5244	Улучшение
	2,6	-3,5	0,4	-2,128	-1,599	1,572	1,044	-1,335	-0,4892	Улучшение
	2,9	-3,9	0,2	-4,097	-1,189	-3,833	0,924	0,396	-1,5598	Улучшение
	3,2	-4,3		-2,106	-2,899	-3,692	-4,484	-1,049	-2,8460	Улучшение
	3,5	-4,7	-0,2	-5,669	-5,933	-1,440	-0,912	-3,819	-3,5546	Улучшение
	3,7	-4,8	-0,3	-0,979	-2,301	-0,979	-2,829	-3,887	-2,195	Шаги: 0,2;-0,1;-0,1. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	3,3	-4,6	-0,1	-6,248	-3,605	-1,755	-2,283	-5,719	-3,9220	Улучшение
	3,1	-4,5		-6,152	-6,416	-3,774	-5,095	-6,416	-5,5706	Улучшение
	2,9	-4,4	0,1	-4,325	-2,211	-2,739	-2,211	-4,061	-3,1094	Ухудшение
		-4,2	-0,1	-1,798	-5,234	-4,441	-0,741	-5,498	-3,5424	Шаги: -0,1;0,3;-0,1. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	3,2	-4,8	0,1	-7,645	-6,588	-8,174	-6,588	-7,140	-7,2270	Улучшение
	3,4	-4,9	0,4	-6,087	-7,408	-7,144	-7,937	-7,673	-7,2498	Шаги: 0,2;-0,1;0,3. Улучшение
	3,6	-5	0,7	-6,601	-6,866	-5,809	-5,016	-4,751	-5,8086	Ухудшение

 

Предел изменения Х достигнут, эксперимент можно завершить. Точку (3,4;-4,9;0,4) с критерием оптимальности у=-7,2498 можно считать решением поставленной задачи.

 

 

Для того,чтобы определить, является ли найденный экстремум локальным или глобальным,возьмем новую начальную точку и заново проведем весь поиск.

 

2.Вторая точка.

 

Шаги для второй точки:

1) ε₁=0,2569, ε₂=0,1595, ε₃=0,5517

ε₁^н=0,2569/√0,2569²+0,1595²+0,5517²=0,41

ε₂^н=0,1595/√0,2569²+0,1595²+0,5517²=0,25

ε₃^н=0,5517/√0,2569²+0,1595²+0,5517²=0,88

ε₁=0,41-0,5=-0,09

ε₂=0,25-0,5=-0,25

ε₃=0,88-0,5=0,38

∆x₁=-0,09*1=-0,1

∆x₂=-0,25*1=-0,3

∆x₃=0,38*1=0,4

Первый шаг (-0,1;-0,3;0,4).

 

2) ε₁=0,4764, ε₂=0,1673, ε₃=0,5605

ε₁^н=0,4764/√0,4764²+0,1673²+0,5605²=0,63

ε₂^н=0,1673/√0,4764²+0,1673²+0,5605²=0,22

ε₃^н=0,5605/√0,4764²+0,1673²+0,5605²=0,74

ε₁=0,63-0,5=0,13

ε₂=0,22-0,5=-0,28

ε₃=0,74-0,5=0,24

∆x₁=0,13*1,5=0,2

∆x₂=-0,28*1,5=-0,4

∆x₃=0,24*1,5=0,4

Второй шаг (0,2;-0,4; 0,4)

 

3) ε₁=0,0764, ε₂=0,2125, ε₃=0,5605

ε₁^н=0,0764/√0,0764²+0,2125²+0,5605²=0,13

ε₂^н=0,2125/√0,0764²+0,2125²+0,5605²=0,35

ε₃^н=0,5605/√0,0764²+0,2125²+0,5605²=0,93

ε₁=0,13-0,5=-0,37

ε₂=0,35-0,5=-0,15

ε₃=0,93-0,5=0,43

∆x₁=-0,37*5=-0,2

∆x₂=-0,15*0,5=-0,1

∆x₃=0,43*0,5=0,2

Третий шаг (-0,2;-0,1;0,2)

 

4) ε₁=0,5353, ε₂=0,1756, ε₃=0,3575

ε₁^н=0,5353 /√0,5353 ²+0,1756 ²+0,3575²=0,8

ε₂^н=0,1756 /√0,5353 ²+0,1756 ²+0,3575²=0,26

ε₃^н=0,3575 /√0,5353 ²+0,1756 ²+0,3575²=0,09

ε₁=0,8-0,5=0,3

ε₂=0,26-0,5=-0,43

ε₃=0,09-0,5=-0,24

∆x₁=0,3*3,3=1

∆x₂=-0,43*3,3=-1,4

∆x₃=-0,24*3,3=-0,8

Четвертый шаг (1;-1,4;-0,8;-1,5;0,1)

 

5) ε₁=0,6473, ε₂=0,8229, ε₃=0,9361

ε₁^н=0,6473 /√0,6473 ²+0,8229 ²+0,9361 ²=0,46

ε₂^н=0,8229 /√0,6473 ²+0,8229 ²+0,9361 ²=0,59

ε₃^н=0,9361 /√0,6473 ²+0,8229 ²+0,9361 ²=0,67

ε₁=0,46-0,5=-0,04

ε₂=0,59-0,5=0,09

ε₃=0,67-0,5=0,17

∆x₁=-0,04*2=-0,1

∆x₂=0,09*2=0,2

∆x₃=0,17*2=0,3

Пятый шаг (-0,1;0,2;0,3)

 

6) ε₁=0,9303, ε₂=0,7071, ε₃=0,9187

ε₁^н=0,9303 /√0,9303 ²+0,7071 ²+0,9187 ²=0,63

ε₂^н=0,7071 /√0,9303 ²+0,7071 ²+0,9187 ²=0,48

ε₃^н=0,9187 /√0,9303 ²+0,7071 ²+0,9187 ²=0,62

ε₁=0,63-0,5=0,13

ε₂=0,48-0,5=-0,02

ε₃=0,62-0,5=0,12

∆x₁=0,13*3=0,4

∆x₂=-0,02*3=-0,1

∆x₃=0,12*3=0,4

Шестой шаг (0,4;-0,1;0,4)

 

7) ε₁=0,2125, ε₂=0,4744, ε₃=0,6357

ε₁^н=0,2125 /√0,2125 ²+0,4744 ²+0,6357 ²=0,26

ε₂^н=0,4744 /√0,2125 ²+0,4744 ²+0,6357 ²=0,58

ε₃^н=0,6357 /√0,2125 ²+0,4744 ²+0,6357 ²=0,77

ε₁=0,26-0,5=-0,24

ε₂=0,58-0,5=0,08

ε₃=0,77-0,5=0,27

∆x₁=-0,24*0,7=-0,2

∆x₂=0,08*0,7=0,1

∆x₃=0,27*0,7=0,2

Седьмой шаг (-0,2;0,1; 0,2)

 

8) ε₁=0,2803, ε₂=0,0995, ε₃=0,4890

ε₁^н=0,0995 /√0,0995 ²+0,2803 ²+0,4890 ²=0,17

ε₂^н=0,2803 /√0,0995 ²+0,2803 ²+0,4890 ²=0,39

ε₃^н=0,4890 /√0,0995 ²+0,2803 ²+0,4890 ²=0,85

ε₁=0,17-0,5=-0,33

ε₂=0,39-0,5=-0,11

ε₃=0,85-0,5=0,35

∆x₁=-0,33*0,5=-0,2

∆x₂=-0,11*0,5=-0,1

∆x₃=0,35*0,5=0,2

Восьмой шаг (-0,2;-0,1;0,2)

 

Таблица 9. Вторая точка

№	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	У4	У5	Уср	Комментарии
	-2	-2	-2	30,257	29,464	33,693	31,579	29,729	30,9444
	-2,1	-2,3	-1,6	31,867	33,981	35,303	35,567	31,867	33,717	Шаги -0,1;-0,3;0,4. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	-1,9	-1,7	-2,4	31,904	27,411	31,640	27,940	31,904	30,1598	Улучшение
	-1,8	-1,4	-2,8	29,408	27,822	25,708	30,465	30,729	28,8264	Улучшение
	-1,7	-1,1	-3,2	29,640	26,733	29,112	29,904	25,940	28,2658	Улучшение
	-1,6	-0,8	-3,6	27,579	25,729	24,672	27,579	25,729	26,2576	Улучшение
	-1,5	-0,5	-4	27,189	28,246	28,511	25,339	26,925	27,2420	Ухудшение
	-1,4	-1,2	-3,2	23,971	25,556	23,706	25,556	22,121	24,1820	Шаги: 0,2;-0,4;0,4. Улучшение
	-1,2	-1,6	-2,8	19,217	18,688	18,952	23,445	23,709	20,8022	Улучшение
	-1	-2	-2,4	17,810	20,981	19,924	19,131	18,603	19,2898	Улучшение.
	-0,8	-2,4	-2	13,672	16,315	16,051	15,258	16,844	15,6280	Улучшение
	-0,6	-2,8	-1,6	14,996	11,296	15,261	12,353	11,561	13,0934	Улучшение
	-0,4	-3,2	-1,2	9,889	12,268	13,853	13,061	10,682	11,9506	Улучшение.
	-0,2	-3,6	-0,8	11,565	11,301	7,072	11,301	11,565	10,5608	Улучшение
		-4	-0,4	9,981	7,074	9,189	6,281	8,924	8,2898	Улучшение
	0,2	-4,4		6,724	6,195	3,552	4,345	4,874	5,1380	Улучшение
	0,4	-4,8	0,4	2,321	6,021	5,756	6,021	6,549	5,3336	Ухудшение
		-4,5	0,2	6,115	10,079	11,136	9,815	10,608	9,5506	Шаги: -0,2;-0,1;0,2. Ухудшение. Шагнем в противоположную сторону
	0,4	-4,3	-0,2	4,607	1,436	2,228	2,493	2,757	2,7042	Улучшение
	0,6	-4,2	-0,4	-0,499	0,293	1,879	0,822	3,465	1,1920	Улучшение
	0,8	-4,1	-0,6	-2,517	0,390	-1,724	-2,253	1,183	-0,9842	Улучшение
		-4	-0,8	-1,974	-3,560	-1,974	-1,446	-1,181	-2,0270	Улучшение
	1,2	-3,9	-1	-3,364	-0,986	-0,457	-0,721	-2,307	-1,5670	Ухудшение
	0,9	-3,8	-0,5	1,509	0,981	-1,134	-2,984	-0,605	-0,4466	Шаги: -0,1;0,2;0,3. Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону
	1,1	-4,2	-1,1	0,501	0,236	1,293	-3,464	-0,821	-0,4510	Ухудшение.
	1,4	-4,1	-0,4	-1,908	-5,344	-1,379	-2,701	-5,873	-3,4410	Шаги: 0,4;-0,1;0,4. Улучшение.
	1,8	-4,2		-7,139	-2,911	-4,232	-3,704	-2,911	-4,1794	Улучшение.
	2,2	-4,3	0,4	-6,303	-5,246	-5,774	-7,624	-7,360	-6,4614	Улучшение
	2,4	-4,4	0,8	-4,781	-5,309	-7,159	-5,045	-6,895	-5,8378	Ухудшение.
		-4,2	0,6	-3,055	-7,548	-6,755	-4,377	-4,905	-5,3280	Шаги:-0,2;0,1;0,2. Ухудшение. Шагаем в противоположную сторону
	2,4	-4,4	0,2	-4,059	-8,023	-8,552	-6,966	-7,231	-6,9662	Улучшение
	2,6	-4,5		-3,988	-7,159	-4,516	-7,688	-8,216	-6,3134	Ухудшение.
	2,2	-4,5	0,4	-3,924	-8,416	-8,945	-7,095	-5,509	-6,7778	Шаги: -0,2;-0,1;0,2. Ухудшение
	2,6	-4,3		-4,277	-3,484	-6,920	-6,392	-4,542	-5,1230	Ухудшение.

 

Нашли точку (2,4;-4,4; 0,2) с критерием оптимальности у =-6,9662, которую можно считать решением поставленной задачи.

В этом методе получились разные точки: (3,4;-4,9;0,4) с критерием оптимальности у=-7,2498 и (2,4;-4,4; 0,2) с критерием оптимальности у =-6,9662, а это означает,что найденный минимум является локальным.

 

После проведения экспериментов двумя разными методами мы получаем разные результаты, поэтому можно предположить, что наш объект носит локальный характер.