Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса является одним из самых универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Осуществляется он путем последовательного исключения неизвестных из системы уравнений.

Пусть дана следующая система линейных алгебраических уравнений, содержащая n-неизвестных и m-уравнений:

Процесс решения таких систем по методу Гаусса состоит из двух этапов:

На первом этапе: система приводится к ступенчатому, в частности, к треугольному виду. В ступенчатой форме система может быть записана следующим образом:

В ней , коэффициенты и называется главными элементами системы.

На втором этапе: из этой ступенчатой системы последовательно определяются неизвестные.

Существо метода Гаусса.

Будем считать, что элемент , если он равен нулю, то первым в системе уравнений запишем то из них, у которого коэффициент перед неизвестным отличен от нуля. Преобразуем систему, исключив неизвестное .Из всех уравнений, кроме первого. Для этого используем элементарное преобразование системы. Например, обе части первого уравнения домножим на величину и сложим почленно со вторым уравнением системы.

Затем обе части первого уравнения умножим на величину . И сложим с третьим уравнением.

Продолжая эту процедуру(насколько возможно), из исходной системы получаем эквивалентную ступенчатую систему вида, показанной ниже:

В ней коэффициенты и свободные члены – это новые значения, полученные после исключения из уравнений системы неизвестного .

Аналогичным образом, считая главным элементом коэффициент исключаем из уравнений системы неизвестное , кроме первого и второго уравнений.

То же самое осуществляется для неизвестных и т.д.

Процедура длится пока она возможна. Если в процессе приведения системы к ступенчатому или треугольному виду появляются уравнения типа:0=0, то такие уравнения отбрасываются. Если же в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся уравнения типа:0= , где , то это будет свидетельствовать о том, что система уравнений заданного вида несовместна. В этом существо первого этапа.

Второй этап: заключается в решении ступенчатой системы уравнений. Отметим, что, вообще говоря, любая ступенчатая система имеет бесконечное множество решений. Для получения общего решения системы в последнем её уравнении выражаем первое неизвестное через все остальные: . Затем полученное значение подставляем в предыдущее уравнение и выражаем неизвестное через . Продолжаем эту процедуру до определения через неизвестные . Получаем общее решение ступенчатой системы. Затем свободным неизвестным присваиваем некоторые призвольные значения. В результате этого получаем одно из частных решений. Задавая новые произвольные значения свободных неизвестных, получаем второе, третье и др. частные решения.

Замечание 1: если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е k=n, то она имеет единственное решение.

Замечание 2: на практике удобнее работать не с системой уравнений, а с соответствующей ей расширенной матрицей.При этом только над её строками осуществляются элементарные преобразования. Удобно также, когда первая строка расширенной матрицы начинается с единицы. Если это не так, то переставляют строки, добиваясь желаемого результата, либо обе части первого уравнения системы делят на при условии, что .

Примеры:

№1

Решить методом Гаусса(в двух вариантах)следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Решение:

Этим методом решение осуществляется путём последовательного исключения неизвестных из системы уравнений.

Приведём систему к ступенчатому виду. Для этого используем следующие элементарные преобразования системы. Из второго уравнения почленно вычтем первое уравнение, умноженное на 2.Затем из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на 3, а из четвертого уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 5.

Получим:

Разделим обе части третьего уравнения на (-2), а четвертого на (-6).

Получим: Систему вида:

Она имеет единственное решение, которое является точнее решением исходной системы.

Получим решение заданной системы другим способом, т.е. в матричном виде. Для этого составим её расширенную матрицу:

Подвергнем её элементарным преобразованиям, приводящим к эквивалентным матрицам. С использованием первой строки преобразуем следующие. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2.

Далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3

Из четвертой строки вычтем первую, умноженную на 5

Затем с использованием второй строки преобразуем все оставшиеся. Для этого к третьей строку прибавим вторую, умноженную на 2.

К четвертой строке прибавим вторую, умноженную на 6.

Теперь воспользуемся третьей строкой, а именно к четвертой строке прибавим третью, умноженную на (-3)

Полученной матрице соответствует система:

Осуществляя, соответствующие подстановки, получим:

Таким образом, обоими способами получены одни и те же решения.

Произведем проверку, подставляя полученные значения неизвестных в исходную систему:

Получаем верные равенства:3=3

7=7

5=5

3=3

Ответ:

№2

Решить методом Гаусса (в двух вариантах)следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Решение

Приведем систему к ступенчатому виду, то есть исключим неизвестное из всех уравнений кроме первого. Для этого используем элементарные преобразования заданной системы, из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 3;Из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на 2; Из четвертого уравнения вычтем первое, умноженное на 2.

Получим систему:

Теперь с использованием второго уравнения преобразуем третье и четвертое уравнение системы, к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на (-1), к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на (-3/4);

Получим: