Расчёт электрических цепей
Контрольная работа
Задача 1. Расчёт цепи синусоидального тока
В цепи синусоидального тока (рис. 1) содержатся активное сопротивление R = 10 Ом и реактивные сопротивления С 1 = 200 мкФ, С 2 = 130 мкФ, L = 0,05 мГн; частота сети f = 75 Гц. При заданных ЭДС с амплитудами E 1m = 127 B, E 2m = 56 B, E 3m = 36 B и начальных фазах φ1 = 36°, φ2 = 30° и φ3 = 270° определить показания амперметра (электромагнитной системы) и ваттметра. Расчёты параметров цепи выполнить с использованием комплексных чисел.
 |
Рис. 1. Электрическая схема цепи синусоидального тока.
Решение
Для измерения тока, протекающего в какой-либо цепи, служат электроизмерительные приборы амперметры. Отличительной особенностью этих приборов является низкое внутреннее сопротивление, которое не превышает 0,02 Ом. Эта особенность амперметров исключает какое-либо влияние падения напряжения на внутреннем сопротивлении прибора на величину напряжения источника, или потребителя.
Переменный ток промышленной частоты измеряется при помощи амперметров электромагнитной системы.
Принцип действия приборов электромагнитной системы основан на взаимодействии магнитного поля, создаваемого током в неподвижной катушке, с подвижным ферромагнитным сердечником, выполненным в виде лепестка, насаженного на ось прибора.
Одна из наиболее распространенных конструкций электромагнитного измерительного механизма представлена на рис. 2, где обозначено: 1 – катушка; 2 ‒ сердечник, укрепленный на оси прибора; 3 – стрелка; 4 – спиральная пружинка, создающая противодействующий момент; 5 – ось; 6 – грузики; 7 – воздушный успокоитель.
Рис. 2. Устройство амперметра электромагнитной системы.
Под действием магнитного поля сердечник втягивается внутрь катушки. Подвижная часть механизма поворачивается до тех пор, пока вращающий момент не уравновесится противодействующим моментом, создаваемым пружинкой.
Приборы просты в изготовлении, надежны в работе, имеют большую перегрузочную способность.
К недостатком прибора относится невысокая точность, малая чувствительность, слабое собственное магнитное поле, что требует дополнительной защиты от внешних магнитных полей.
Для измерения мощности в цепях постоянного и переменного однофазного тока используют электродинамические ваттметры. Направление отклонения стрелки зависит от направления тока в обмотках ваттметров, поэтому их зажимы имеют специальную маркировку. Зажимы, обозначенные значком * (звездочкой), соединяются с проводами, идущими от источника электрической энергии. Зажимы, не имеющие этого обозначения, подключаются к нагрузке.
Синусоидальный ток – это периодический ток, изменяющийся во времени по закону синуса. Значение тока i в любой момент времени t называется мгновенным значением. Максимальное значение тока (относительно оси t) называется амплитудой и обозначается I m. Синусоидальный ток изменяется во времени от + I m до – I m.
Наименьшее время Т, по истечении которого значения тока повторяются, называется периодом тока. Число периодов, совершаемых током за одну секунду, называется частотой тока f. При теоретических расчетах часто используют понятие об угловой (круговой) частоте. Угловая частота ω связана с частотой f соотношением:
Синусоидальные токи и напряжения выражаются аналитически следующим образом:
где i и u ‒ мгновенные значения тока и напряжения (в любой момент времени t); I m и U m – амплитуды (наибольшие значения) тока и напряжения; ω − угловая частота тока и напряжения; t – время, прошедшее от начала отсчета, которое выбирается произвольно, так как на ход физического процесса изменения тока во времени оно не влияет; ψi и ψu − начальные фазы тока и напряжения при t = 0; их численные значения зависят от выбора момента начала отсчета времени.
Для полного определения синусоидального тока или напряжения необходимо знать три величины: амплитуду, частоту и начальную фазу. Если известно приложенное к цепи синусоидальное напряжение, то это значит, что заданы U m, ω и ψu. Следовательно, для определения синусоидального тока этой цепи надо определить только две величины: I m и ψi, так как частота тока ω такая же, как и у приложенного напряжения.
Расчет разветвленных цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм весьма затруднен, поэтому геометрическое сложение векторов токов и векторов напряжений можно заменить алгебраическим сложением проекций их декартовых координат.
Принято ось х считать осью вещественных чисел и обозначать (+1), а ось у – осью мнимых чисел и обозначать (+ j 1). Тогда координаты векторов по оси х будут являться вещественными частями комплексных чисел, а координаты векторов по оси у – мнимыми частями комплексных чисел.
Таковы исходные положения символического метода. Он позволяет заменить геометрические действия с векторами токов и напряжений алгебраическими действиями с комплексными числами. При этом каждому вектору на плоскости соответствует комплексное число, а каждому комплексному числу соответствует вектор на плоскости.
Главными положениями символического метода являются понятия о комплексных токах и напряжениях, о комплексном сопротивлении, комплексной проводимости и комплексной мощности.
Рассчитаем параметры электрической цепи методом контурных токов.
В основе метода лежит представление о независимых контурах, по которым протекают независимые друг от друга контурные токи.
Независимым называется контур, который (при определенном порядке нумерации) содержит хотя бы одну новую ветвь.
Контурные токи – промежуточные неизвестные данного метода расчета. Относительно них составляется система уравнений (используется второй закон Кирхгофа). Легко заметить, что контурных токов меньше, чем токов в ветвях цепи. Это позволяет понизить порядок системы уравнений по сравнению с решением задачи по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
В нашем случае имеем два независимых контура, для которых необходимо рассчитать два контурных тока, через которые можно определить токи в ветвях электрической цепи.
Рассмотрим методику составления уравнений для контурных токов. Напряжения в правой части уравнения, создаваемые первым контурным током во всех сопротивлениях контура берутся со знаком (+), а напряжения, создаваемые первым и вторым контурными токами, если контурные токи в сопротивлении направлены согласно, берутся со знаком (+), а если встречно ‒ со знаком (‒).
Правая часть уравнения состоит из алгебраической суммы ЭДС контура. Если ЭДС направлена согласно с направлением контурного тока, то она входит в уравнение со знаком (+), а если направлена встречно контурному току имеет знак (‒).
Направление контурных токов выбираем по часовой стрелке и рассчитываем полные комплексные сопротивления ветвей:
Ом,
где ω = 2∙π∙ f = 2∙3,142∙75 = 471,259 1/с;
Ом;
= ‒ j 16,3 Ом.
Обобщая изложенное выше, составим систему уравнений цепи:
Контурные токи определяем матричным методом. Рассчитываем контурные токи 
и 
воспользовавшись теорией определителей.
Главный определитель системы:
Первое алгебраическое дополнение получаем из главного заменой первого столбца свободными членами уравнений:
Второе алгебраическое дополнение получаем из главного заменой второго столбца свободными членами уравнений:
Теперь определяем контурные токи цепи:
А;
А.
Находим токи во всех ветвях цепи. Ток в левой ветви цепи равен контурному току 
так как совпадает с ним по направлению:
А.
Ток в правой ветви цепи равен контурному току поскольку совпадает с ним по направлению:
А.
Ток в средней ветви (1 ‒ 2) 
равен алгебраической сумме контурных токов:
А.
Проверку решения производим, воспользовавшись 1-м законом Кирхгофа для узла (1) исследуемой цепи:
Задача 2. Расчёт трёхфазной электрической цепи
В трёхфазную сеть включены однофазные приёмники, которые образуют симметричную и несимметричную. Линейное напряжение фазы U A = 230 B; схема соединения фаз источника «звезда» (Y); сопротивления фаз R ab = 40 Ом, R bc = 45 Ом, R сa = 50 Ом; начальные фазы приёмников φаb = 45°, φbc = 40°, φсa = 35°; схема соединения фаз приёмника «треугольник» (Δ); начальная фаза исходного напряжения ψ0 = 60°.
Задание
1. Составить расчётную схему включения приёмников.
2. Составить схему включения ваттметров для измерения активной мощности.
3. Определить линейные токи.
4. Построить векторные диаграммы электрического состояния цепи.
5, Определить потребляемую полную, активную и реактивную мощности приёмников.
Решение
Расчётная схема включения приёмников представлена на рис. 3.
Рис. 3. Расчётная схема включения приёмников.
Из начала фаз А, В и С источника отходят три провода к приемникам энергии. Они называются линейными. Направления действия линейных токов принято, как показано на рис. 3. При соединении треугольником фазные ЭДС источника и фазные сопротивления приемников оказываются включенными между началами фаз А и В, В и С, С и А, а действующее значение фазного напряжения равно линейному U ф = U л = 230 В.
Линейные токи фаз:
А;
А;
А.
Полная, активная и реактивная мощности, потребляемые фазами приёмника:
ВА;
Вт:
вар.
ВА;
Вт:
вар.
ВА;
Вт:
вар.
Полная, активная и реактивная мощности, потребляемые приёмником:
ВА;
Вт; 
вар
Активная мощность трехфазного потребителя измеряется при помощи однофазных ваттметров электродинамической системы. Количество ваттметров, задействованных в работе, определяется нагрузкой трехфазного потребителя и схемой соединения его фаз. В соответствии с количеством используемых приборов методы измерения мощности называются методами одного, двух или трех ваттметров. Метод одного ваттметра можно применять только при полной симметрии фаз потребителя. Схема соединения трехфазного потребителя не играет решающего значения, если она имеет выводы, позволяющие подключить зажимы прибора на фазные значения тока и напряжения. на рис. 4 показана схем включения ваттметра при соединении фаз потребителя по схеме «треугольник», а на рис. 5 векторная диаграмма электрической цепи.
Рис. 4. Схема включения ваттметров для измерения активной мощности.
 |
Рис. 5. Векторная диаграмма напряжений и токов.
Список использованной литературы
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для вузов: ‒ М.: Высшая школа, 1978. ‒ 528 с.
2. Виноградов А.Л., Кучер В.Я., Томов А.А., Прокофьев В.Н. Электрические и магнитные цепи: учебное пособие: ‒ СПб.: Изд-во СЗТУ, 2008. ‒ 267 с.
3. Зевке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей: учебник для вузов: ‒ М.: Энергия, 1975. ‒ 752 с.
4. Евсеев М.Е. Теоретические основы электротехники. Анализ линейных электрических цепей при установившихся режимах работы: учебное пособие: – СПб.: СЗТУ, 2006. – 244 с.
5. Леонтьев В.В. Электротехника и электроника. Методы расчёта установившихся процессов в линейных электрических цепях: учебное пособие: ‒ СПб.: СЗТУ, 2004. ‒ 59 с.
6. Леонтьев В.В., Томов А.А. Электротехника и электроника. Электрические измерения и приборы: учебное пособие: ‒ СПб.: СЗТУ, 2003. ‒ 57 с.