Теорема о локальной ограниченности функции, имеющий предел.




Если предел функции при равняется , то найдётся окрестность точки , во всех точках которой функция ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: Возьмём . Из условия теоремы следует существование окрестности . Следовательно, . Перепишем это следующим образом: . Легко видеть, что это и означает ограниченность функции .

31.

 

32. Теорема о непрерывности функции в точке, свойства непрерывных функций:

Функция называется непрерывной в точке , если:

функция определена в точке и ее окрестности;

существует конечный предел функции в точке ;

это предел равен значению функции в точке , т.е.

 

Свойства:

1. Если функция непрерывна в точке , то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки:

2. Если функция непрерывна в точке и 0, то в некоторой окрестности точки знак функции совпадает со знаком числа

3. Если и непрерывны в точке , то функции:
непрерывны в точке .

4. Если непрерывна в точке , а , непрерывна в точке причем , то в некоторой окрестности определена сложная функция равная которая также непрерывна в точке :

33. Точки разрыва и их классификация:

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

функция определена в точке и ее окрестности;

существует конечный предел функции в точке ;

это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

34. Сравнение б/м функций. Теорема о связи б/б и б/м функции:

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если

Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если

Если , то является б.м. более высокого порядка при , чем , а - б.м. более низкого порядка по сравнению с : при .

Если , то - б.м. низшего порядка малости при по сравнению с .

Если , то называется б.м. порядка по сравнению с при .

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

35. Теоремы об эквивалентных б/м функциях:

Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если

Обозначают: при .

Разность двух эквивалентных б.м. функций есть б.м. функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Сумма конечного числа б.м. функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

 

Сравнение б/б функций.

Пусть и – бесконечно большие функции при x → a. Рассмотрим возможные значения предела отношения этих функций:

Если , то функции и называются бесконечно большими одного и того же порядка.
Функции и называются эквивалентными бесконечно большими при x → a, если λ = 1. Для записи эквивалентности функций используется обозначение вида

Функция называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с при x → a, если λ = ∞; при этом говорят, что имеет меньший порядок роста.
Если и представляют собой бесконечно большие функции одного и того же порядка, то функция называется бесконечно большой n-го порядка по сравнению с . Например, функция является бесконечно большой 4-го порядка по сравнению с при x → ∞.
Если λ = 0, то функция является бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с при x → a.

37.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: