Определение предела числовой последовательности, теорема о единственности.

Теорема Ферма.

Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.

Предположим, что функция дифференцируема в точке и . Если , то функция возрастает в окрестности точки ; если , то функция убывает в окрестности точки . В обоих случаях не является точкой экстремума и, таким образом, допущение приводит к противоречию с условиями теоремы.

Теорема Ролля.

Пусть функция непрерывна на отрезке ; дифференцируема на интервале ;

на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .

Если в граничных точках значения функций равны, то функция принимает свое макс или мин значение в одной из точек отрезка. Согласно теореме Ферма, производная в этой точке равна 0

Теорема Лагранжа

Пусть функция дифференцируема на интервале и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке ,

а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:

9. Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и : непрерывны на отрезке ; дифференцируемы на интервале ;

производная на интервале , тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Формула Тейлора с остатком Пеано.

11. Выписать формулы Тейлора:

12.Необходимое условие возрастания функции:

13. Достаточное условие возрастания функции:

Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает на І. Пусть

14. Необходимое условие существования экстремума:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на (a,b), число x₀ (a,b) и f(x₀) является экстремумом функции f. Тогда f'(x₀) = 0.

Доказательство. Пусть f(x₀) является максимумом функции f, тогда

Переходя к пределу, получаем

Так как по условию теоремы при x = x₀ производная функции f существует, то f'(x₀) = 0. Аналогично доказывается, что если f(x₀) является минимумом функции f, то f'(x₀) = 0.

15. Достаточное условие экстремума по 1 производной:

16. Достаточное условие экстремума по 2 производной:

17. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции.

18. Необходимое условие существования точки перегиба:

19. Достаточное условие существования точки перегиба:

Определение предела числовой последовательности, теорема о единственности.

Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n , n = 1, 2,..., что = a и = b, причем a b, a , b . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b (рис. 49): U V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.

21. Теорема о связи одностороннего предела с двусторонним:

Точка b R является двусторонним пределом функции f(x) в конечной точке а R тогда и только тогда, когда b является и левым, и правым пределами этой функции в точке а или ее окрестности.

22. Теорема о пределе суммы:

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:

Доказательство:

Пусть , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать: и . Следовательно, , где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать , или .