Теорема Ферма.
Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.
Предположим, что функция дифференцируема в точке
и
. Если
, то функция
возрастает в окрестности точки
; если
, то функция
убывает в окрестности точки
. В обоих случаях
не является точкой экстремума и, таким образом, допущение
приводит к противоречию с условиями теоремы.
Теорема Ролля.
Пусть функция непрерывна на отрезке
; дифференцируема на интервале
;
на концах отрезка принимает равные значения
.
Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка
, в которой
.
Если в граничных точках значения функций равны, то функция принимает свое макс или мин значение в одной из точек отрезка. Согласно теореме Ферма, производная в этой точке равна 0
Теорема Лагранжа
Пусть функция
дифференцируема на интервале
и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка
, что
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке ,
а на его концах принимает одинаковые значения:
Тогда
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка
, в которой производная функции
равна нулю:
9. Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)
Если функции и
: непрерывны на отрезке
; дифференцируемы на интервале
;
производная
на интервале
, тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка
, такая, что
Формула Тейлора с остатком Пеано.
11. Выписать формулы Тейлора:
12.Необходимое условие возрастания функции:
13. Достаточное условие возрастания функции:
Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает на І. Пусть
14. Необходимое условие существования экстремума:
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на (a,b), число x0 (a,b) и f(x0) является экстремумом функции f. Тогда f'(x0) = 0.
Доказательство. Пусть f(x0) является максимумом функции f, тогда
Переходя к пределу, получаем
Так как по условию теоремы при x = x0 производная функции f существует, то f'(x0) = 0. Аналогично доказывается, что если f(x0) является минимумом функции f, то f'(x0) = 0.
15. Достаточное условие экстремума по 1 производной:
16. Достаточное условие экстремума по 2 производной:
17. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции.
18. Необходимое условие существования точки перегиба:
19. Достаточное условие существования точки перегиба:
Определение предела числовой последовательности, теорема о единственности.
Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.
Допустим противное. Пусть существует такая последовательность xn
, n = 1, 2,..., что
= a и
= b, причем a
b, a
, b
. Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b (рис. 49): U
V =
. Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {xn}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.
21. Теорема о связи одностороннего предела с двусторонним:
Точка b R является двусторонним пределом функции f(x) в конечной точке а
R тогда и только тогда, когда b является и левым, и правым пределами этой функции в точке а или ее окрестности.
22. Теорема о пределе суммы:
Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:
Доказательство:
Пусть ,
. Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать:
и
. Следовательно,
, где
- бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать
, или
.
23. Теорема о пределе произведения:
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Доказательство:
Пусть ,
. Тогда
и
. Следовательно
,
.
Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е.
.
24. Теорема о пределе частного:
Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен 0:
Доказательство:
Пусть ,
.
Тогда и
. Тогда
. По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.
Поэтому , т.е.
25. Первый замечательный предел:
26. Второй замечательный предел: