Рассмотрим случай когда 
. Тогда 
, то есть фазовыми траекториями на плоскости (u, v) будут концентрические окружности. Если перейти к исходным координатам, то получим
|
то есть, получаем уравнение эллипса. Такая изолированная точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые – называется «центром» (рис. 3.4)
|
БИЛЕТ№12
В модели Риденура предполагается без особой строгости экспоненциальный закон роста, как общий закон технико-экономического развития. При этом считается, что степень признания какого-то нового продукта (технологии) обществом пропорциональна числу потенциальных производителей 
, ознакомившихся с ним:
(2.9)
где A – коэффициент пропорциональности.
Коэффициент A определяется как вероятность того, что человек, впервые ознакомившись с технологией, станет потенциальным ее потребителем. Эта вероятность аппроксимируется соотношением:
, (2.10)
где a – константа. Подставляя выражение (2.10) в формулу (2.9), получим
(2.11)
Решением уравнения (2.11) является логистическая функция следующего вида:
(2.12)
где 
– начальное значение величины.
3.1.4. Особая точка типа «фокус»
Рассмотрим случай, когда 
, 
– комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3.7), имеющие вид
(3.16)
Введя некоторые промежуточные преобразования, можно свести рассмотрение к действительному однородному линейному преобразованию
(3.17)
где 
– вещественные величины. Очевидно, преобразование от (Z 1 ,Z 2) к 
является действительным, однородным, с определителем отличным от нуля.
Подставляя (3.17) в уравнения (3.11), получим
(3.18)
откуда имеем
(3.19)
Разделим второе уравнение (3.19) на первое, получим
(3.20)
Перейдем к полярным координатам: 
. Тогда 
После подстановки имеем:
(3.21)
откуда
(3.22)
Уравнение (3.22) определяет на фазовой плоскости семейство логарифмических спиралей с общей асимптотической точкой в начале координат (рис. 3.3). Установим характер движения точки по фазовым траекториям. Для этого преобразуем уравнение (3.19) к виду:
|
(3.23)
|
, тогда изображающая точка непрерывно приближается к началу координат. Фазовые траектории соответствуют колебательным затухающим движениям, стремящимся к положению равновесия. Особая точка семейства интегральных кривых, имеющих вид спиралей, называется «фокусом». В силу изложенного фокус устойчив.
При 
имеем неустойчивый «фокус ».
БИЛЕТ№13
В модели Гартмана предполагается, что скорость изменения информации в процессе развития пропорциональна общему количеству уже накопленной информации, то есть
(2.13)
где A – вероятность того, что ученый, встретивший «единицу» информации, будет взаимодействовать с ней и генерировать новую «единицу» информации; L – численность ученых, работающих в какой-либо области исследований.
Обычно в новой области исследований (ЭВМ, АСУ, лазерная техни- ка и т.д.) число ученых само растет по экспоненте:
(2.14)
Поэтому имеем
(2.15)
Считая, что 
, получаем в модели Гартмана решение в виде двойной экспоненты:
