Принцип Даламбера и метод кинетостатики
В предыдущих лекциях рассматривались способы решения задач динамики, основанные на законах Ньютона. В теоретической механике разработаны и другие способы решения динамических задач, в основе которых лежат некоторые иные исходные положения, называемые принципами механики.
Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики — способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.
Принцип Даламбера для материальной точки
Пусть материальная точка массы 
совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы 
и реакции связи R (рис. 57).
Рис. 57.
Определим вектор
численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор 
имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.
Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.
Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:
Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор 
в другую часть равенства и заменяя 
на 
, получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначение 
, получаем записьпринципа Даламбера.
Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме — в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.
Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.
Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы 
с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 58). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.
Рис. 58.
Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана 
. Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол 
. Раскладывая ускорение точки а на касательное 
) и нормальное 
представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:
Касательная составляющая силы инерции имеет модуль 
и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая — модуль 
и направлена противоположно нормальному ускорению.
Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе 
и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики
Проектируя это векторное уравнение на направления касательной и главной нормали, получаем два уравнения кинетостатики в скалярной форме:
Из второго уравнения находим
Реакция N окончательно найдется после того, как будет определена величина v и подставлена в это выражение.
Для определения v служит первое уравнение, которое является дифференциальным уравнением и требует интегрирования. Однако можно избежать интегрирования, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Применяя эту теорему для точки М на участке траектории 
и учитывая, что 
(работу совершает только сила тяжести), получаем:
Отсюда находим
и далее
В момент отделения от купола реакция N равна нулю. Следовательно, точка сойдет с купола при
