Лекция 4
Раздел 3. Матрицы.
Первоначальные сведения о матрице.
Определение 1. Прямоугольной, или 
- матрицей называется совокупность 
чисел 
, расположенных в виде прямоугольной таблицы из т строк и п столбцов:
. (1)
Размер матрицы А обозначается символом: 
. Числа называются элементами матрицы А. У элемента первый индекс 
указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице.
Например, матрица
имеет размер 
, её элемент 
, принадлежащий 3-ей строке и 1-му столбцу, равен 
.
Определение 2. Матрица называется комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной, если все ее элементы – действительные числа.
Пример.
- комплексная матрица, 
- действительная матрица.
В учебной и математической литературе встречаются следующие обозначения матриц: 
, 
, 
, где 
, 
. (Запись означает, что 
)
Матрицы А и В имеют одинаковый размер, т.е. 
, если они содержат равное количество строк и столбцов.
Определение 3. Матрицы А и В называются равными, если 
, и их соответствующие элементы равны, т.е. 
, , . В таких случаях пишут 
.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:
, 
.
Матрица, имеющая лишь один столбец, называется матрицей-столбцом:
, 
.
Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой. Нулевые матрицы разных размеров принято обозначать одним и тем же символом О, что не приводит к недоразумениям.
Линейные действия над матрицами.
Определение 1. Пусть матрицы А, В и С такие, что 
. Суммой матриц А и В называется такая матрица 
, элементы которой определяются равенствами 
, где , .
Пример.
а) 
- сложение не имеет смысла, т.к. матрицы разного размера;
б) 
.
Определение 2. Матрица 
называется противоположной матрицей к матрице А, если 
и каждый элемент матрицы есть элемент матрицы А, взятый с противоположным знаком.
Пример. Если 
, то противоположная матрица 
.
Свойства операции сложения матриц.
Для матриц А, В, С, О таких, что 
, справедливы следующие утверждения:
1. 
(сложение матриц коммутативно);
2. 
(сложение матриц ассоциативно);
3. 
(свойство нулевой матрицы);
4. 
.
Сложение матриц обладает обратной операцией – вычитанием.
Определение 3. Пусть матрицы А, В и С такие, что . Разностью матриц А и В называется такая матрица 
, элементы которой определяются равенствами 
, где , .
Пример.
а) 
б) 
- вычитание не имеет смысла, т.к. матрицы разного размера.
Определение 4. Пусть матрицы А и В такие, что 
. Произведением матрицы А на число l называется матрица 
, элементы которой определяются равенствами: 
, где , .
Пример.
Свойства операции умножения матрицы на число.
Для матриц А и В таких, что 
, и любых действительных чисел a и b справедливы равенства:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Умножение матриц.
Определение 1. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. , 
.
Из согласованности матрицы А с матрицей В, не следует согласованность матрицы В с матрицей А.
Пример.
, 
.
Матрица А согласована с матрицей В (А имеет 3 столбца, В – 3 строки), но матрица В не согласована с матрицей А (В имеет 3 столбца, А – 3 строки).
Определение 2. Пусть матрица А согласована с матрицей В, т.е. , . Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица 
, размер которой равен 
, а элементы вычисляются по формулам:
, ; 
.
Пример.
1) 
,
. В этом примере произведение 
определено, а произведение 
не определено, т.к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
Оба произведения и определены, если , 
.
Пример. Для матриц 
и 
определены произведения и , т.к. 
, 
. Найдем произведение :
, 
.
Вычислим :
, 
.
Из приведенных примеров видно, что если даже оба произведения и имеют смысл, то эти произведения могут оказаться не одинаковыми, т.е. умножение матриц не обладает свойством коммутативности.
Свойства операции умножения матриц.
1. 
;
2. 
;
3. 
.
Эти свойства доказываются непосредственной проверкой. Докажем, например, свойство 3. Пусть , 
, 
. По определению произведения матриц элементами произведений 
и 
будут элементы 
и 
, а элементами двойных произведений 
и 
- соответственно элементы 
и 
. Таким образом, соответствующие элементы матриц 
и 
равны. Следовательно, сами эти матрицы равны.
3.4 Операции над матрицами: транспонирование, комплексное сопряжение, сопряжение по Эрмиту.
Определение 1. Транспонированием матрицы А называется операция замены каждой ее строки столбцом с тем же номером. Полученную в результате этой операции матрицу называют транспонированной к матрице А и обозначают через 
.
Если А – матрица размера 
, то - матрица размера 
.
Пример. 
, 
.
Запишем транспонированную матрицу: 
, 
.
Определение 2. Комплексным сопряжением матрицы А называется операция замены каждого элемента матрицы А на комплексно сопряженный ему элемент. Матрица, полученная в результате этой операции, называется комплексно сопряженной с матрицей А и обозначается 
.
Пример. Пусть 
.
Представим все элементы матрицы А в алгебраической форме
,
тогда комплексно сопряженная матрица имеет вид
.
Определение 3. Сопряженим по Эрмиту матрицы А называется операция сочетающая транспонирование и комплексное сопряжение. Матрица, полученная в результате этой операции, называется эрмитово-сопряженной с матрицей А и обозначается 
, т.е. 
.
Пример. Пусть 
,
тогда 
и 
.
Для всех трех операций, непосредственной проверкой, можно доказать следующие свойства:
I. II.
1) 
; 4) 
;
2) 
; 5) 
;
3) 
; 6) 
;
III. IV.
7) 
; 10) 
;
8) 
; 11) 
.
9) 
;
3.5 Квадратные матрицы.
Определение 1. Квадратной матрицей называется матрица А, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. 
.
В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей верхний левый угол с правым нижним, называют главной диагональю. У элементов главной диагонали номер строки совпадает с номером столбца. Например, у матрицы размера 
элементы 
образуют главную диагональ.
Определение 2. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, т.е.
называют диагональными.
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали одинаковые, называется скалярной. Частным случаем скалярных матриц является единичная матрица
.
Легко видеть, что 
.
Определение 3. Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. При этом матрицу вида
называют верхней треугольной матрицей, а матрицу вида
- нижней треугольной матрицей.
Определение 4. Квадратную матрицу А называют симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. 
.
Например, рассмотрим матрицу 
. Так как транспонированная матрица имеет вид: 
, то матрица А симметрическая.
Определение 5. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. 
.
Например, для матрицы 
, транспонированная матрица имеет вид: 
, поэтому матрица А кососимметрическая.
Определение 5. Квадратная матрица называется эрмитовой, если она равна эрмитово-сопряженной, т.е. 
.
Определение 6. Квадратная матрица называется ортогональной, если ее произведение на
транспонированную матрицу равно единичной матрице, т.е.
.
Определение 7. Квадратная матрица называется унитарной, если ее произведение на
эрмитово-сопряженную матрицу равно единичной матрице, т.е.
.
При помощи матриц изучаются свойства различных устройств в электротехнике и технике сверхвысоких частот (СВЧ).
В частности, в технике сверхвысоких частот (СВЧ) применяют матрицу рассеяния S, связывающую амплитуды волн, бегущих к устройству 
и амплитуды волн, бегущих от устройства 
:
,
где п – число каналов, по которым волны бегут к устройству или от него. В теории устройств СВЧ доказывается, что необходимым и достаточным условием отсутствия потерь в устройстве служит унитарность матрицы рассеяния.
Пример. Проверить, обладает ли потерями устройство, описываемое матрицей рассеяния
.
Решение. Проверим, будет ли матрица S унитарной.
1. Ищем эрмитово-сопряженную матрицу.
Þ 
2. Проверяем равенство 
.
