Арифметическая прогрессия.
Определение. ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Геометрическая прогрессия.
Определение. ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Число е.
Теорема. _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
|
где e = 2,718281828459045…
Принимаем без доказательств.
п. 1.6. Применение числовых последовательностей и их пределов в экономических расчетах
Рассмотрим несколько примеров применения числовых последовательностей и их пределов в экономических расчётах.
· Сложные проценты
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей расчёта сложных процентов, рост по которым представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии:
.
Здесь P – первоначальный денежный взнос, 
– ставка процентов, S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n -го года.
Решим следующую задачу.
Задача о непрерывном начислении процентов
Пусть первоначальный вклад в банк составил 
денежных единиц. Ежегодно банк выплачивает t % годовых. Каков будет размер 
вклада через n лет?
Размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число 
раз, т.е.:
, 
, …, 
.
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а k раз, то, при том же ежегодном приросте t %, процент начисления за 
- ю часть года составит 
%, а размер вклада за n лет при nk начислениях составит:
.
Будем увеличивать частоту начисления вкладов, переходя к непрерывному процессу при 
. Тогда получим:
.
Равенство 
называют формулой непрерывного начисления процентов.
Пример. Первоначальный вклад, положенный в банк под 7 % годовых, составил 80 тыс. руб. Найти размер вклада через 3 года при начислении процентов: а) ежегодном; б) поквартальном; в) ежемесячном; г) ежедневном; д) непрерывном.
Решение.
а) при ежегодном начислении процентов получаем:
б) при поквартальном начислении процентов получаем:
в) при ежемесячном начислении процентов получаем:
г) при ежедневном начислении процентов получаем:
д) при непрерывном начислении процентов получаем:
· Дисконтирование
Дисконтирование определяет стоимость денежного потока, относящегося к периодам в будущем, то есть будущие доходы в настоящий момент. Задача дисконтирования является обратной нахождению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P:
.
Например, какую сумму положить на депозит, чтобы через 5 лет получить 500 тыс. руб., учитывая, что процентная ставка по данному вкладу составляет 5%?
Получаем:
Приложение
Таблица 1. Формульные обозначения, их трактовка и примеры.
| № | Аналитическая форма записи | Словесная форма записи | Пример |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
|  , 
| ||
| ,
| ||
| ,
| ||
|  ,
универсальное множество В: 
| ||
| , 
| ||
| , 
|
Таблица 2. Часто используемые символы.
| № | Символ | Словесная расшифровка | Пример |
| следование, следовательно | 
| |
| равносильно, тогда и только тогда | 
| |
| влечёт, если…, то | 
| |
| такое, что имеет место | 
(для любого х принадлежащего множеству натуральных чисел имеет место утверждение, что 2 х принадлежит множеству натуральных чисел)
| |
| для любого, для всякого, для всех | ||
| существует, найдётся | - | |
| сумма | 
| |
| произведение | 
| |
| факториал | 
…
|
Пример использования символьной записи:
Расшифровка:
для любого натурального числа т существует (найдётся) такое натуральное число п, что их отношение не будет являться натуральным числом.