Важное отступление от темы

Институт подготовки государственных и муниципальных служащих

Академии ФСИН России

 

 

Кафедра математики и информационных технологий управления

 

Математический анализ

Рабочая тетрадь

 

Заполнил(а) студент(ка) ______ группы

направления (специальности) _________

___________________________________

 

 

(Ф.И.О.) ___________________________

 

Рязань ____________

Тема 1. Элементы теории множеств. Числовые последовательности

 

п. 1. Понятие множества и подмножества.

Под множеством понимают ______________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

Например: 1) ____________________________________________________________________

________________________________________________________________________________2) _____________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

3)______________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Элементами множества называют ________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

Множества обозначают ___________________________________________________________

 

A, B, C, …, X, Y,…

а их элементы ___________________________________________________________

 

a, b, c, …, x, y,…

Пустым множеством называют __________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Пустое множество обозначают символом _____________

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Множество A называется подмножеством множества B, если ___________________________

________________________________________________________________________________

 

Символически это записывается, как ________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

Заметим, что само множество тоже является своим подмножеством.

 

 

Способы задания множества

В основном используют два способа задания множества.

 

1) Перечислением элементов. _________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) С помощью свойства, характеризующего элементы множества. ________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Символическая запись

п. 2. Операции над множествами.

Для наглядного представления действий с множествами удобно использовать так называемые диаграммы Венна.

 

Диаграммы Эйлера-Венна

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

или

 

 

A

B

или

 

 

 

 

A

A

B

A

 

Рассмотрим ещё одну операцию над множествами.

 

Декартово произведение двух множеств

 

Декартовым произведением двух множеств А и В называют _____________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Что записывают, как

 

 

Пример. Известно, что . Из каких элементов состоят множества А и В?

Решение. _______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Основные законы алгебры множеств

Для операций объединения, пересечения и дополнения выполняются следующие законы.

 

1. Коммутативные (переместительные):

 

 

1. Ассоциативные (сочетательные):

 

 

1. Дистрибутивные (распределительные):
• пересечения относительно объединения:

 

 

• объединение относительно пересечения:

 

 

1. Идемпотентности:

 

 

1. де Моргана:

 

 

1. Двойного дополнения:

 

 

1. Действия с универсальным и пустым множествами:

 

Самостоятельно. С помощью диаграмм Эйлера-Венна убедитесь в справедливости данных законов.

п. 3. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грань множества.

 

Важное отступление от темы

1,2,3,4, 5… N (натуральные)

… - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… Z (целые)

…- 5,… - ,… -1/2,… 0,… …2,… ,… 4,… R (действительные)

… - 3/2,…, -1,…, 0,… 0,5,… …(m / n),… Q (рациональные)

Расшифруйте данную запись.

 

 

Запишите определение

действительного числа.

 

Определение 1. Множество X R называется ограниченным сверху, если _______________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение 2. Множество X R называется ограниченным снизу, если _______________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определение 3. Множество называется ограниченным, если __________________________

________________________________________________________________________________

 

Замечание (об ограничении)________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Примеры. _______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение 4 (верхней грани). __________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение 5 (нижней грани). __________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Примеры. ______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

п. 4. Числовые промежутки. Окрестность действительного числа (точки).

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих вид, представленный следующей таблицей:

Аналитическая форма записи	Название	Словесное описание
[a; b] = {х: a ≤ х ≤ b}
(a; b) = {х: а < х < b}
[a;b) = {х: а ≤ х < b}
(a; b] = {х: а < х ≤ b}
(∞; b] = {х: х ≤ b}
[α, +∞) = {х: х ≥ α}
(∞; b) = {х: х <b}
(а, +∞) = {х: х > а}
(∞, ∞) = {х: ∞<х<+∞} = R

 

Здесь числа a и b называются ______________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

 

Определение 1. Окрестностью точки x 0 {\displaystyle x_{0}} на числовой прямой называется ________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение 2. Проколотой окрестностью точки на числовой прямой называется______

________________________________________________________________________________

 

Замечание. ______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

п. 5. Числовая последовательность и её предел

Определение 1. (Числовой последовательности) ____________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Члены числовой последовательности._______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Примеры.

1) 2, 4, 6, 8,…, 2 п – числовая последовательность, 2 п – общий член этой последовательности.

 

2)

Определение 2. (Предел числовой последовательности). __________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Различают следующие виды числовых последовательностей.

 

· Возрастающая последовательность – _____________________________________________

________________________________________________________________________________

 

· Неубывающая последовательность – _____________________________________________

________________________________________________________________________________

 

· Убывающая последовательность – _____________________________________________

________________________________________________________________________________

 

· Невозрастающая последовательность – ___________________________________________

________________________________________________________________________________

 

· Монотонная последовательность – _______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

· Ограниченная последовательность –_____________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

· Неограниченная последовательность –____________________________________________

________________________________________________________________________________

 

· Сходящаяся последовательность –_____________________________________________

________________________________________________________________________________

 

· Расходящаяся последовательность – _____________________________________________

________________________________________________________________________________

 

 

Задача 1. Записатьчисловую последовательность, общий член которой:

Решение. , ,

 

Получаем последовательность:

Задача 2. Найти общий член числовой последовательности

Решение.