Признаки делимости на 18

Числа и их свойства

Общие категории чисел:

· N – натуральные числа (1, 2, 3, …);

· Z – целые числа (0, ±1, ±2, ±3, …);

· Q – рациональные числа, их можно представить в виде дроби \frac { m } { n } nm ​, где m – целое число, а п – натуральное (3,\frac { 2 } { 3 }32​, -\frac { 4 } { 3 }−34​);

· R – действительные числа (3, \sqrt { 7 }7​, 0, -\frac { 2 } { 3 }−32​);

· Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными (\sqrt { 7 }7​).

· C — комплексные числа (a+i⋅b, где i - мнимая единица и i² =−1). Любое действительное число является комплексным.

· Положительные числа - больше нуля. Например, 4, \sqrt { 5 }5​, 213. Но не 0 и не −5.

· Неотрицательные числа - не меньше нуля. Например, 6, 0, 32. Но не −3.

· Отрицательные числа. Числа, которые меньше нуля. Например, −4, -\sqrt { 5 }5​. Но не 0 и не 5.

· Неположительные числа. Числа, которые не больше нуля. Например, 0, −\sqrt { 3 }3​. Но не 6, не \sqrt { 7 }7​.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

· a + b = b + a – переместительное свойство сложения

· (a + b) + с = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения

· a∙b = b∙a – переместительное свойство умножения

· (a∙b)∙c = a∙(b∙c) – сочетательное свойство сложения

· a(b ± с) = ab ± ac – распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания

Если m, n, k натуральные числа, то при m – n = k говорят, что m – уменьшаемое, n – вычитаемое, k – разность; m: n = k говорят, что m – делимое, n – делитель, k – частное.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b – это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Среднее арифметическое множества чисел – сумма всех чисел, делённое на их количество

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d.

Формула вычисления арифметической прогрессии: а_п = а₁ + d(n – 1).

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом b₁ = b, b_n = b_n-1∙q, n = 2, 3, ….

Формула вычисления геометрической прогрессии: b_n = b₁∙q^n-1.

Формула знаменателя геометрической прогрессии: q = b_n+1 / b_n

Формула суммы n -первых членов геометрической прогрессии:

S_n = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q)

S_n = (b₁ - b_nq)/(1 - q), где q ≠ 1

 

 

Признаки делимости чисел

Признаки делимости натуральных чисел

Признаки делимости от 2 до 19 и 24, 25, 36 с примерами

Признаки делимости на 2

· На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной - 0, 2, 4, 6, 8.

· Например: 24, 48, 94, 172, 1670, 67838.

Признаки делимости на 3

· На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

· Например: 16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21; 21: 3 = 7 — делится на 3

Признаки делимости на 4

· На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.

· Например: 1024 делится на 4, так как 24 делится на 4

Признаки делимости на 5

· На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

· Например: 125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5

Признаки делимости на 6

· На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).

· Например: 126 делится 6, так как 126 - четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3

Признаки делимости на 7

· На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7

· Например: 17948 делится на 7, 1794 - (2 · 8) = 1778 большое число, 177 - (8 · 2) = 161 повторяем снова, 16 - (1 · 2) = 14

Признаки делимости на 8

· Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.

· Например: 1568 делится на 8 — 568 кратно 8

Признаки делимости на 9

· На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.

· Например: 1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9

Признаки делимости на 10

· На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

· Например: 1570 — делится на 10, последняя цифра 0

Признаки делимости на 11

· На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места

· Например: 105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14 равна 0 + 7 + 7 = 14;

Признаки делимости на 12

· Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.

· Например: 168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12

Признаки делимости на 13

· Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

· Например: 221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13

Признаки делимости на 14

· Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признаки делимости на 15

· Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признаки делимости на 16

· Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16

· Например: 24576 делится 16, так как 4576:16 = 286

Признаки делимости на 17

· Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17.

· Например: 272 делится на 17, 27 - 2 · 5 = 17 кратно 17

Признаки делимости на 18

· На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.

· Например: 5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18