ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЙ
Событие называется случайным, если в результате некоторого опыта оно может произойти и может не произойти.
Событие называется достоверным, если оно наступает обязательно в результате опыта или, возможно, что оно никогда не наступает.
События образуют полную группу, если в результате опыта наступает хотя бы одно из них.
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
События называется равновозможными, если при большом количестве испытаний они происходят одинаково часто.
Несовместное равновозможное образующее полную группу событие называется исходом опыта.
Исходы, в результате которых наступает событие называются благоприятными этому событию.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события P (A) называется отношение числа благоприятных этому событию исходов m к общему числу исходов n
пример. В урне находятся 3 белых и 7 черных шаров. Найти вероятность, что вынутый шар окажется черным.
Решение
А – шар черный
– вероятность событий.
Утверждение: Вероятность событий 0 ≤ P (A) ≤ 1.
Если А – невозможное событие Þ P (A) = 0.
А – достоверное событие Þ P (A) = 1.
пример. Партия готовой продукции из n одинаковых изделий содержит m бракованных. Контроллер наудачу выбирает l изделий. Какова вероятность, что среди них окажется k бракованных.
Решение
Событие А – k бракованных из l выбранных: 
Общее число исходов: 
По правилу умножения: 
Относительной частотой ω события А в n испытаниях называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к n.
Частотное определение вероятности 
Геометрическое определение вероятности 
μ – мера (длина, площадь, объем).
А – множество, соответствующее наступлению исходов, благоприятных событию А.
Ω – множество всех исходов.
пример. Заданы два натуральных числа от 1 до 10 x, y Î [1; 10].
Какова вероятность, что их произведение меньше 4х xy < 4.
Решение
Основные теоремы теории вероятностей
К ним относятся теоремы сложения и умножения.
Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (т.е. сумма эквивалентна союзу «или»).
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении А и В.
называется противоположным событию А, если оно происходит только тогда, когда не происходит А.
Теорема сложения для несовместных событий.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
P (A + B) = P (A) + P (B)
Доказательство
n – общее число исходов;
m – число исходов, благоприятных А;
k – число исходов, благоприятных B.
m и k не пересекаются, т.к. события несовместны.
m + k – число исходов, благоприятных A + B.
Теорема сложения для совместных событий.
P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB)
Доказательство
m ~ A (m благоприятно A)
k ~ B (k благоприятно B)
l ~ AB
m и k – l ~ A + B
пример. Какова вероятность из набора шахматных фигур случайным образом извлечь белую фигуру или слона.
Решение
А – белая фигура; В – слон; А, В – совместно.
Теорема умножения событий
Событие А называется независимым от события В, если вероятность А не зависит от того произошло В или нет.
пример. В урне 7 белых и 3 черных шара. Последовательно по одному извлекаются два шара.
А – первый шар белый;
В – второй шар белый.
1) А – произошло, 6 белых и 3 черных осталось.
Если А не произошло, 7 белых и 2 черных шара.
А и В зависят.
Вероятность события А при условии, что В уже произошло называется условной вероятностью А и обозначается P B (A) = P(A / B).
Теорема умножения для зависимых событий
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.
Доказательство
