Лекция 7. Гидромеханика трубопроводов
Одномерное движение жидкости в трубе
Рассмотрим одномерное движение жидкости в трубе на участке 1-1 (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Движение жидкости на участке трубы
При равномерном движении эпюры скоростей одинаковы в поперечных сечениях по длине трубы.
Составим уравнение равновесия суммы проекций внешних сил на ось движения Х, действующих на отсек 1 – 2, в виде
Силы давления приложены в центрах давления и и равны и где и - давления в центрах тяжести сечений и
По смоченной боковой поверхности потока где - смоченный периметр, а l – длина отсека, действуют давления , направленные по нормали, и касательные напряжения
По всей смоченной поверхности действуют силы трения
Силы тяжести жидкости в отсеке 1 – 2 в проекции на ось равны
(7.1)
Из треугольника и силового треугольника с гипотенузой найдем
(7.2)
и
(7.3)
Проекции всех сил дают уравнение
(7.4)
что после перегруппировки и деления на позволяет записать
(7.5)
Поскольку скоростной напор в равномерном движении постоянен, то есть то потери напора равны
(7.6)
где а - гидравлический радиус.
Величина - гидравлический уклон, поэтому основное уравнение равномерного движения будет
(7.7)
Величина касательных напряжений в большинстве задач квадратично зависит от скорости
(7.8)
где - коэффициент местного трения.
Из предыдущего уравнения следует
(7.9)
или
(7.10)
Учитывая, что , и обозначив получим формулу Дарси-Вейсбаха для потерь по длине
(7.11)
где - коэффициент трения или коэффициент Дарси.
Обозначив , получим формулу
(7.12)
которая называется формулой Вейсбаха.
Это обобщение формулы Дарси-Вейсбаха дает возможность рассчитывать местные сопротивления.
Из формулы с учетом и получим формулу Шези
(7.13)
где - коэффициент Шези с размерностью в СИ
- модуль скорости с размерностью
Режимы движения жидкости. Число Рейнольдса
Механизм перемещения отдельных частиц изучался О. Рейнольдсом путем их визуализации. Струйка жидкости подкрашивалась и ее характер фиксировался при разных средних скоростях (рис. 7.2).
В результате установлено, что до некоторой скорости график функции является прямой и потери энергии линейно возрастают с возрастанием скорости. Затем функция становится квадратичной . Области разделяются критической скоростью .
Рис. 7.2. Опыты Рейнольдса
В области до критической скорости режим движения ламинарный (слоистый). Затем появляются поперечные пульсации и движение становится вихревым. Наконец, с ростом скорости процесс становится хаотическим и режим становится турбулентным.
Обобщение условий смены режима движения определяется безразмерным параметром, называемым числом Рейнольдса:
, (7.14)
где - скорость потока; L - характерный размер; - кинематическая вязкость.
Критические точки перехода от одного режима движения к другому характеризуются нижним и верхним числами Рейнольдса
и , (7.15)
причем
(7.16)
Формула Пуазейля
При ламинарном режиме движения касательное напряжение в круглой трубе при равномерном движении имеет вид
, (7.17)
где - гидравлический радиус.
Распределение давлений в трубе подчиняется гидростатическому закону.
Касательные напряжения по закону Ньютона равны
, (7.18)
поэтому с учетом предыдущего и интегрирования
. (7.19)
из условия нулевой скорости на стенках трубы получим
, (7.20)
поэтому
. (7.21)
Эпюра скоростей в живом сечении будет параболоидом вращения и максимум достигается на оси трубы
. (7.22)
Элементарный расход в кольцевом сечении равен
. (7.23)
Интегрирование в пределах от r= 0 до r=r0 дает
. (7.24)
Средняя скорость потока равна
. (7.25)
Потери напора определяются из условия , поэтому
. (7.26)
Это формула Пуазейля.
Длина пути перемешивания
Поскольку , то, исключив , запишем
. (7.27)
При турбулентном режиме закон Ньютона может быть модернизирован по Буссинеску
. (7.28)
Прандтль ввел понятие длины пути перемещения и дал формулу
, (7.29)
где l - осредненное значение пути перемешивания аналогичное длине свободного пробега молекулы в кинетической теории газов.
В теории турбулентности вводится понятий динамической скорости
, (7.30)
где - касательное напряжение на стенке.
По Прандтлю длина пути перемешивания равна
, (7.31)
где - постоянная, поэтому распределение скоростей в турбулентном потоке равно
(7.32)