Пусть ,
,
- предельная точка множества
,
- предельная точка множества
,
,
, при этом
, если
.
Тогда при существует предел композиции
:
.
Эта теорема позволяет вычислять пределы, переходя от переменной к новой переменной
.
В случае непрерывности функции в точке
утверждение теоремы можно записать в виде формулы:
.
Пример 14. Найти .
Применяя теорему о пределе композиции, будем иметь:
.
Понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.), их связь и леммы о бесконечно малых также могут быть использованы при отыскании пределов.
Определение бесконечно малой:
Функция называется бесконечно малой функцией (или просто б.м.) при
, если
.
Справедливы леммы о б.м.
Лемма 1:
Если и
- б.м. при
, а С1,С2 – вещественные числа, то
также б.м. при
.
Лемма 2:
Если функция ограничена в окрестности точки
, а
- б.м. при
, то их произведение
является б.м. при
.
Определение бесконечно большой:
Функция называется бесконечно большой при
, если для
такое, что для
тотчас выполняется:
, т.е.
.
Связь между б.м. и б.б.:
Функция , отличная от нуля при
, является б.м. при
тогда и только тогда, когда обратная величина
является б.б. при
.
Пример 15. Найти
.
Функция является ограниченной при
, ибо для
,
а функция
является б.м. при
как величина, обратная б.б. функции (x2+1), следовательно, по лемме 2 о б.м.
=0.
Пример 16. Найти
.
, а
тогда
=0, откуда
.
Возможны случаи, когда ни понятия непрерывности, ни теорема об арифметических свойствах предела, ни леммы о б.м. неприменимы, и необходимо рассматривать пределы неопределенных выражений. Так, если при функции
и
есть б.м.,
и
- б.б., а
то возникают неопределенности, условно обозначаемые (1)
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
. Для раскрытия неопределенностей используются 1-й и 2-ой замечательные пределы и следствия из них:
I. - 1ый замечательный предел;
II. =
– 2ой замечательный предел;
IIа. , IIб.
,
IIв. .
В примерах 17-43 найти пределы, раскрыв неопределённости.
Пример 17.
Пример 18.
Пример 19.
.
Пример 20. ,
.
Сделаем замену переменной , тогда при
должно быть
. Имеем:
Пример 21.
Пример 22.
.
Пример 23. .
Делаем замену , если
, то
. Используем следствие IIв из 2го замечательного предела:
Пример 24.
Пример 25.
Делаем замену , если
, то
.
Тогда - c использованием следствия II в.
Пример 26.
Пример 27.
Пример 28. =
Пример 29. =
Пример 30. ,
.
Делаем замену , если
, то
. Тогда
, поэтому
.
Пример31.
.
Пример 32. .
Так как , то
.
Пример 33.
Пример 34. .
Учитывая, что:
и
получим:
Пример 35.
Пример 36.
-
как произведение б.м. функции при
на ограниченную функцию
.
Пример 37.
- с использованием следствия IIа.
Пример 38.
Пример 39. ,
используя следствие IIб.
Пример 40. .
Пример 41.
Пример 42. Для
При вычислении первого из пределов используем следствие IIб, а во втором сделаем замену , если
, то
. Тогда
Пример 43.
-
с использованием непрерывности степенной и показательной функций и следствия IIб.
Рассмотрим функцию вида: , называемую показательно-степенной. Данная функция непрерывна в любой точке
, где непрерывны функции
и
и где
. Используя логарифмическое тождество
и теоремы о непрерывности композиции и произведения непрерывных функций, будем иметь:
.
Но не всегда может быть найден непосредственно, он может представлять собой неопределённость, если
представляет неопределённость вида
Это возможно в трёх случаях: 1)
, 2)
,
, 3)
,
при
, и мы приходим к следующим типам неопределённостей:
,
,
. Посредством использования логарифмического тождества эти неопределённости сводятся к более простой -
.
Пример 44. Найти .
Неопределённость вида можно раскрывать с помощью 2–го замечательного предела. Покажем это:
Положим далее ,
, тогда
. Так как
при
, то
,
и тогда
– по теореме о пределе композиции и с использованием 2-го замечательного предела. В силу непрерывности показательно- степенной функции получаем:
, при этом
представляет неопределённость вида
.
Итак,
- с использованием следствия IIв
Пример 45. Найти .
.
Пример 46. Найти .
.