Пусть 
, 
, 
- предельная точка множества 
, 
- предельная точка множества 
, 
, 
, при этом 
, если 
.
Тогда при 
существует предел композиции 
:
.
Эта теорема позволяет вычислять пределы, переходя от переменной 
к новой переменной 
.
В случае непрерывности функции 
в точке утверждение теоремы можно записать в виде формулы:
.
Пример 14. Найти 
.
Применяя теорему о пределе композиции, будем иметь:
.
Понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.), их связь и леммы о бесконечно малых также могут быть использованы при отыскании пределов.
Определение бесконечно малой:
Функция 
называется бесконечно малой функцией (или просто б.м.) при 
, если 
.
Справедливы леммы о б.м.
Лемма 1:
Если и 
- б.м. при , а С1,С2 – вещественные числа, то 
также б.м. при .
Лемма 2:
Если функция 
ограничена в окрестности точки 
, а - б.м. при , то их произведение 
является б.м. при .
Определение бесконечно большой:
Функция 
называется бесконечно большой при , если для 
такое, что для 
тотчас выполняется: 
, т.е. 
.
Связь между б.м. и б.б.:
Функция , отличная от нуля при 
, является б.м. при 
тогда и только тогда, когда обратная величина 
является б.б. при .
Пример 15. Найти 
.
Функция 
является ограниченной при 
, ибо для 
, 
а функция 
является б.м. при как величина, обратная б.б. функции (x2+1), следовательно, по лемме 2 о б.м. =0.
Пример 16. Найти 
.
, а 
тогда 
=0, откуда 
.
Возможны случаи, когда ни понятия непрерывности, ни теорема об арифметических свойствах предела, ни леммы о б.м. неприменимы, и необходимо рассматривать пределы неопределенных выражений. Так, если при 
функции 
и 
есть б.м., 
и 
- б.б., а 
то возникают неопределенности, условно обозначаемые (1) 
, (2) 
, (3) 
, (4) 
, (5) 
. Для раскрытия неопределенностей используются 1-й и 2-ой замечательные пределы и следствия из них:
I. 
- 1ый замечательный предел;
II. 
= 
– 2ой замечательный предел;
IIа. 
, IIб. 
,
IIв. 
.
В примерах 17-43 найти пределы, раскрыв неопределённости.
Пример 17. 
Пример 18. 
Пример 19. 
.
Пример 20. 
, 
.
Сделаем замену переменной 
, тогда при 
должно быть 
. Имеем:
Пример 21. 
Пример 22.
.
Пример 23. 
.
Делаем замену 
, если , то 
. Используем следствие IIв из 2го замечательного предела: 
Пример 24. 
Пример 25. 
Делаем замену 
, если , то .
Тогда 
- c использованием следствия II в.
Пример 26. 
Пример 27. 
Пример 28. 
=
Пример 29. 
=
Пример 30. 
, 
.
Делаем замену 
, если 
, то . Тогда 
, поэтому 
.
Пример31.
. 
Пример 32. 
.
Так как 
, то 
.
Пример 33.
Пример 34. 
.
Учитывая, что:
и
получим:
Пример 35.
Пример 36. 
-
как произведение б.м. функции 
при 
на ограниченную функцию 
.
Пример 37.
- с использованием следствия IIа.
Пример 38.
Пример 39. 
,
используя следствие IIб.
Пример 40. 
.
Пример 41.
Пример 42. Для 
При вычислении первого из пределов используем следствие IIб, а во втором сделаем замену 
, если , то . Тогда
Пример 43.
-
с использованием непрерывности степенной и показательной функций и следствия IIб.
Рассмотрим функцию вида: 
, называемую показательно-степенной. Данная функция непрерывна в любой точке 
, где непрерывны функции 
и 
и где 
. Используя логарифмическое тождество 
и теоремы о непрерывности композиции и произведения непрерывных функций, будем иметь: 
.
Но не всегда 
может быть найден непосредственно, он может представлять собой неопределённость, если 
представляет неопределённость вида 
Это возможно в трёх случаях: 1) 
, 2) 
, 
, 3) 
, при 
, и мы приходим к следующим типам неопределённостей: 
, 
, 
. Посредством использования логарифмического тождества эти неопределённости сводятся к более простой - 
.
Пример 44. Найти 
.
Неопределённость вида можно раскрывать с помощью 2–го замечательного предела. Покажем это:
Положим далее 
,
, тогда 
. Так как при 
, то 
, 
и тогда 
– по теореме о пределе композиции и с использованием 2-го замечательного предела. В силу непрерывности показательно- степенной функции получаем: 
, при этом 
представляет неопределённость вида .
Итак, 
- с использованием следствия IIв
Пример 45. Найти 
.
.
Пример 46. Найти 
.
.