1. C помощью 
рассуждений доказать, что
.
Заполнить следующую таблицу:
| 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | … |
|
2. На языке 
доказать, что
.
Заполнить следующую таблицу:
| … | ||||
|
|
Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:
3. а) 
б) 
в) 
.
4. а) 
б) 
в) 
.
5. а) 
е) 
б) 
ж) 
в) 
з) 
г) 
и) 
.
д) 
6. а) 
е)
б) 
ж)
в) 
з)
г) 
и) .
д) 
7. Пусть 
где 
. Доказать, что 
Найти значение следующих выражений:
8. а) 
б) 
в) 
.
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
.
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
. 30. 
.
31. 
32. 
33. 
34. 
.
35. 
. 36. 
; . 37. 
. 38. 
. 39. 
. 40. 
.
41. 
.
42. 
. 43. 
. 44. 
. 45. 
. 46. 
.
47. 
. 48. 
. 49. 
.
50. 
. 51. 
.
52. 
. 53. 
. 54. 
55. Доказать равенства: a) 
, б) 
, в) 
, 
.
Найти пределы:
56. 
. 57. 
. 58. 
.
59. 
. 60. 
.
61. 
. 62. 
.
63. 
. 64. 
.
65. 
. 66. 
.
67. 
. 68. 
.
69. 
.
70. а) 
, б) 
, в) 
.
71. 
. 72. 
. 73. 
. 74. 
. 75. 
. 76. 
.
77. 
. 78. 
. 79. 
. 80. 
. 81. 
. 82. 
.
83. 
. 84. 
. 85. 
.
86. 
. 87. 
. 88. 
.
89. 
. 90. 
. 91. 
(a >0). 92. 
. 93. 
.
94. 
. 95. 
. 96. 
.
97. 
(x >0). 98. 
.
99. 
100. 
(a >0). 101. 
(a >0). 102. 
. 103. 
.
104. 
. 105. 
.
106. 
. 107. 
.
108. 
(a >0). 109. 
(a >0).
110. 
(a >0). 111. 
. 112. 
(x >0). 113. 
(x >0).
114. 
(a >0, b >0). 115. 
(a >0, b >0). 116. 
(a >0, b >0, c >0).
117. 
(a >0, b >0, c >0).
118. 
(a >0, b >0). 119. 
(a >0, b >0).
120. a) 
; б) 
.
121. 
. 122. 
.
О-символика. Сравнение функций
Определение 1.
Функция 
называется ограниченной по сравнению с функцией 
при 
, если существует такая
-окрестность точки 
и такая постоянная 
что как только 
, тотчас выполняется 
.
Для введенного понятия используется следующее обозначение: 
при (читается так: « есть 
большое от при »).
Знак имеет здесь иной смысл, чем обычно, он лишь указывает на то, что рассматриваемое свойство имеет место только в некоторой окрестности точки , но ни о каком пределе речь не идет.
Аналогично определяется смысл записи при 
, 
, x→∞, x→+∞, x→–∞.
Если 
, то запись 
, означает, что в некоторой проколотой окрестности точки функция ограничена.
Пример 1. Верно ли: , , если
1) 
, 
, 
;
2) , 
, 
.
1) Используя известное неравенство 
при 
, получаем, что постоянное 
, 
. Верно.
2) Для 
имеем: 
, следовательно, функция 
при , хотя функция не является ограниченной при , она ограничена по сравнению с функцией .
Определение 2.
Если , , а 
, , то функции и называются функциями одного порядка при . В этом случае пишут: 
, .
Теорема.
Для того чтобы функции и были функциями одного порядка при , достаточно, чтобы при существовал конечный и не равный нулю предел отношения этих функций: 
.
Пример 2. Какие из следующих пар функций являются функциями одного порядка при :
1) 
, 
;
2) 
3) , 
;
4) , .
1) Так как 
, то 
, .
2) Учитывая, что 
, имеем: 
. Отметим, что при обе функции являются бесконечно большими.
3) 
не существует. Однако же данные функции являются при функциями одного порядка. Действительно, так как 
при 
, то 
, то есть 
. С другой стороны, 
, , то есть 
и 
. Итак, , 
4) Воспользоваться теоремой нельзя, так как 
.
Данные функции не являются функциями одного порядка при , так как, какова бы ни была постоянная 
, неравенство 
, не выполняется ни в какой окрестности точки 
, и функция не является ограниченной по сравнению с функцией при .
Отметим, что пример 2.3 показывает: существование конечного предела 
достаточное, но не является необходимым условием того, что функции и одного порядка при .
Определение 3.
Функция называется эквивалентной функции при , если существует 
и функция 
такие, что как только , выполняется 
, причем 
.
Для эквивалентности функций используется обозначение:
.
Аналогично определяется эквивалентность функций в случае 
.
Вместо названия «эквивалентна» иногда пишут «асимптотически равна».
Непосредственно из определения следует, что отношение эквивалентности функций:
1) рефлексивно, то есть 
;
2) симметрично, то есть, если , то 
;
3) транзитивно, то есть, если 
, то 
.
Теорема.
Для того чтобы функции и были эквивалентны при , достаточно, чтобы 
.
Из теоремы и известных пределов следуют часто применяемые эквивалентности: 
при .
Справедливы и более общие эквивалентности: если при 
функция 
и при 
, то при 
(следует из теоремы о пределе композиции).
Пример 3. Какие из следующих пар функций являются эквивалентными при x→ 0:
1) 
, 
;
2) 
;
3) 
1) Так как 
то 
при .
2) Так как 
,
то 
при .
3) В этом случае 
не существует, однако при x→ 0. Действительно, существует функция 
такая, что 
и 
.
Теорема дает достаточное условие, но не необходимое. Это условие 
будет являться и необходимым, если в окрестности точки 
, и 
.
Определение 4.
Функция называется бесконечно малой по сравнению с функцией при , если в некоторой проколотой окрестности точки существует такая функция , что и 
.
Из определения следует, что если в окрестности точки , , то функция будет бесконечно малой по сравнению с при тогда и только тогда, когда 
.
Для обозначения введенного понятия используется запись: 
, (читается так: « есть 
малое от при »). Аналогично определяется смысл записи при .
Если , то запись 
при означает, что функция является бесконечно малой при .
Определение 5.
Если при 
, а , то говорят, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем при .
Пример 4. Установить, какие из следующих утверждений верны:
1) 
при а) , б) ;
2) 
при а) , б) ;
3) 
при а) 
, б) 
;
4) 
при а) , б) .
1) а) Утверждение верно, так как 
;
б) Утверждение неверно, ибо 
.
2) а) Утверждение неверно, так как 
;
б) Утверждение истинно, ибо 
.
3) а) Утверждение верно, так как 
;
б) Утверждение неверно, ибо 
.
4) а) Утверждение неверно, так как 
;
б) Утверждение истинно, так как 
.
Пример 5. Доказать или опровергнуть утверждение: 
, , где 
Здесь функция 
обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к точке . Поэтому придется воспользоваться определением символа 
. Так как существует функция 
, что 
и 
, то , - утверждение истинно.
Замечание!!
При использовании равенств с символами и следует иметь в виду, что эти равенства не являются равенствами в обычном смысле. Так, из равенств 
, 
при не следует, что 
: 
, 
при , но 
.
Пример 6. Докажем следующие правила: при :
1) 
, — постоянная;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Для доказательства этих правил возьмем левую часть рассматриваемых равенств и докажем, что ее можно заменить правой.
1) По определению символа 
:
, , но тогда
, где 
и , .
2) Так как 
, , то 
, где 
, и, таким образом, при .
3) Учитывая, что 
, 
, 
, 
, получим: 
,
где 
, поэтому: при .
4) Так как 
, где 
и , то 
, где 
, т.е. при .
В силу доказанных соотношений 1) – 4) левую часть каждого из них можно заменить правой, проделать обратную замену, вообще говоря, нельзя.
Пример 7. Доказать равенства при :
1) 
;
2) 
.
Обозначим ,согласно определению символа : 
в некоторой 
- окрестности точки .
1) Тогда 
и, вводя обозначение 
, будем иметь: 
в некоторой
-окрестности точки .
Если 
, то в - окрестности точки будем иметь 
при .
2) Символ по определению означает: , . Тогда 
.
Так как , то в некоторой окрестности точки 
,следовательно: 
, то есть 
или при .
Вычисление пределов функций существенно упрощается, если использовать понятие эквивалентности функций и следующие две теоремы.
Теорема 1.
Для того чтобы функции и , отличные от нуля в некоторой окрестности точки , были эквивалентными при , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: 
либо 
при .
Теорема 2.
Пусть 
при . Тогда, если существует 
, то существует и 
, причем эти пределы равны.
Пример 8.Найти 
.
При имеем: 
, 
, 
.
Следовательно, 
, 
, 
,и 
Используя далее правила обращения с символами : , 
пример 6 (1,2) 
, получим:
.
Пример 9.Найти 
.
При имеем: 
,
аналогично 
, поэтому 
Пример 10. Найти 
.
При функция 
. Тогда, используя замечательный предел 
, получим: 
при , т.е. 
и 
Убедимся, что 
при .
По определению символа : 
где 
. Но тогда 
и требуемое установлено.
Пример 11.Найти 
.
Воспользуемся замечательным пределом: 
.
Тогда 
.
Поэтому 
, 
при .
Следовательно, 
Определение 6.
Если функция при , то говорят, что функция есть главная часть функции при .
Например: 
при , т.е. 
есть главная часть функции 
при ;
2) 
при , т.е. функция 
есть главная часть функции 
при .
При решении задач удобно выразить главную часть б.м. или б.б. функции через простейшую б.м. или б.б.
Определение 7.
При б.м. вида 
называют простейшей б.м., а б.б. 
- простейшей б.б. При б.м. 
называют простейшей б.м., а б.б. 
-простейшей б.б. (Здесь 
).
Определение 8.
Нахождение для данной функции эквивалентной ей при 
простейшей б.м. или б.б. называется выделением главной части функции при .
Пример 12. Выделить главную часть следующих б.м. или б.б. при функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
1) Так как 
то
Итак, 
.
2) Так как 
при , то 
, следовательно, 
при .
3) Требуется найти функцию вида такую, что 
. Рассмотрим 
~ 
- согласно правилам обращения с символом .
Тогда 
если 
. Следовательно, 
4) Функция