Задача 3. Дана одна проекция точки, которая принадлежит прямой. Построить другую проекцию точки.
Рассмотрим решение третьей задачи. Не зависимо от того, где она решается в перспективе, аксонометрии или на эпюре Монжа, алгоритм ее решения одинаков, если дана модель прямой l (рис. 102, а). На одной проекции дана точка C Ì l. Построить другую проекцию точки C.
Рис. 102. Построение точки С, которая лежит на прямой l,
по одной из заданных проекций
Решение определяется следующими положениями:
1) Проецирование сохраняет взаимную принадлежность элементов друг другу (инварианты проецирования).
2) Две проекции точки располагаются на соответственных друг другу линиях связи исключенных пучков (определение модели точки).
Алгоритм решения:
1. Через заданную проекцию точки C проведем линию связи.
2. Пересечем линией связи другую проекцию прямой l. Получим искомую проекцию точки C (рис. 102, б).
На рис. 103 дан второй вариант условия, при котором прямая занимает проецирующее положение. Искомая проекция точки определяется по этому же алгоритму. Только линия связи совпадает с невырожденной проекцией прямой, а искомая проекция точки тождественно совпадает с вырожденной проекцией прямой.
В случае, когда прямая занимает проецирующее положение и заданная проекция точки принадлежит вырожденной проекции прямой, задача решения не имеет.
Рис. 103. Построение точки С, которая лежит на прямой l, по одной из заданных проекций (прямая занимает проецирующее положение)
В случае с профильной прямой решение задачи усложняется. При ее решении на эпюре Монжа необходимо опираться на пятый инвариант проецирования. Выполним следующие операции алгоритма (рис. 104):
1. Через один из концов проекции отрезка прямой, на котором отсутствует модель точки, под произвольным углом проведем вспомогательную прямую.
2. Отложим на ней другую проекцию отрезка вместе с заданной проекцией точки.
3. Соединим свободные концы отрезков прямой.
4. Через заданную проекцию точки на вспомогательном отрезке проведем прямую, параллельную той, которая соединила свободные концы отрезков. Получим искомую проекцию точки.
Рис. 104. Построение точки С, которая лежит на прямой l, по одной из заданных проекций (прямая занимает профильное положение)
Задача 4. Дана модель прямой. Построить точки ее пересечения с картинами.
При решении этой задачи необходимо иметь в виду характерные признаки моделей точек, которые принадлежат картинам.
Если точка промоделирована в перспективе (рис.105) или в аксонометрии (рис. 106), то характерным признаком модели точки, лежащей в π 1, является тождественное совпадение ее проекций. Поэтому, найдя общую точку проекций, определим общую точку прямой и картины π 1. В приведенных примерах это точка D.
Рис. 105. Построение точек пересечения прямой l с картиной π1(перспектива)
Рис. 106. Построение точек пересечения прямой l с картиной π1(аксонометрия)
Если аналогичная задача решается на эпюре Монжа (рис.107, а), то характерным признаком точки, лежащей в картине π 1, является принадлежность ее второй проекции оси х 1,2. Принадлежность точки к картине π2 располагает ее первую проекцию на оси х 1,2, поэтому пересекаем первую проекцию прямой l с осью х 1,2 и получаем модель точки N, в которой прямая пересекает π 1 (рис. 107, б). Для определения общей точки прямой l и картины π2, необходимо начать с пересечения второй проекции прямой l с осью х 1,2. Получаем модель точки М.
Рис. 107 Построение точек пересечения прямой с картиной π1 на эпюре Монжа
Задача 5. Дана модель прямой. Построить точку схода этой прямой.
Рассмотрим построение точки схода при общем положение прямой l (рис. 108, а).Характерной особенностью модели бесконечно удаленной точки в перспективе является принадлежность ее первой проекции к линии горизонта h 2. Поэтому продолжим первую проекцию прямой l до пересечения с линией горизонта. Получим точку К, которая является точкой схода прямой l (рис. 108, б).
Рис. 108. Построение точки схода прямой общего положения
Если прямая проходит через центр S 1, то точка схода тождественно совпадает с иcключенной точкой U 1,2 (рис. 109). Это происходит потому, что прямая, проецирующая бесконечно удаленную точку проецирующей прямой, совпадает с исключенной прямой u 1,2.
Четвертый инвариант проецирования позволяет утверждать, что точка схода прямой в аксонометрии и на эпюре Монжа всегда остается в бесконечности. Построение точки схода прямой актуально только для перспективы.
Задача 5. Дана модель прямойlи точка А, которая не принадлежит прямой.Провести через точку А прямую fпараллельную прямой l (рис. 109,а; 110, а; 111, а ).
Все параллельные прямые в перспективе содержат одну точку схода. Поэтому для проведения прямой, параллельной l, необходимо найти ее точку схода К. Через полученную точку схода К и точку А пройдет искомая прямая f (рис. 109, б).
Рис. 109. Построение параллельных прямых общего положения (перспектива)
При построении прямой параллельной данной в аксонометрии и на эпюре Монжа нет необходимости строить точки схода. На основании четвертого инварианта проецирования параллельное проецирование сохраняет параллельность. Поэтому она решается одинаково как в аксонометрии и на эпюре Монжа (рис. 110, б; 111 б).
Рис. 110. Построение параллельных прямых общего положения (аксонометрия)
Рис. 111. Построение параллельных прямых общего положения
(эпюр Монжа)
Контрольные вопросы
1. Каковы операции алгоритма по построению модели прямой, построенной методом двух изображений?
2. Как называются прямые, проходящие через произвольную точку трехмерного пространства и центры проецирования?
3. Дайте определение плоской модели прямой трехмерного пространства, построенной методом двух изображений на совмещенных картинах.
4. Приведите доказательство, что полученная модель сохраняет всю геометрическую информацию исходной прямой.
5. Из решения каких задач складывается работа с моделью прямой?
6. Перечислить прямые, которые занимают частное положение по отношению к проекционному аппарату.
7. Каков характерный признак модели прямой, которая содержит центр проецирования S1 в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?
8. Каков характерный признак модели прямой, которая содержитцентр проецирования S2 в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?
9. Каков характерный признак модели прямой, которая параллельна картине p1 в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?
10. Каков характерный признак модели прямой, которая параллельна картине p2 в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?
11. Каков характерный признак модели прямой, которая пересекает исключенную прямую?
12. Каков алгоритм построения проекции точки, принадлежащей прямой, если дана одна ее проекция? Как изменяется алгоритм решения этой задачи при частных положениях прямой?
13. Каков алгоритм построения проекций общих точек прямой и картин? Как изменяется алгоритм решения этой задачи при частных положениях прямой?
14. Что такое точка схода прямой?
15. Каков алгоритм построения точки схода на модели прямой?
16. Как провести прямую параллельную данной в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?
Модель плоскости
Моделировании плоскости определяется рассмотренным выше законом построения плоских моделей трехмерных объектов. Следуя ему, необходимо объединить центры проецирования с заданной плоскостью. В результате проецирующим элементом окажется все трехмерное пространство, которое невозможно пересечь с картиной, так как оно содержит картинную плоскость. Поэтому будем проецировать точки и прямые заданной плоскости на картины p1, p2 из центров S1, S2. В результате их проекции заполнят все плоские поля этих картин. После перехода к однокартинному чертежу получим совмещенное плоское поле точек и прямых, которое можно считать моделью плоскости. Но работать с такой моделью крайне затруднительно. Чтобы снять эти трудности, необходимо выявить какие-то элементы в виде точек и прямых, которые бы однозначно определяли промоделированную плоскость. Для этого обратимся к трехмерному пространству.
Чтобы выделить плоскость из множества плоскостей трехмерного пространства, необходим минимальный набор элементов, который называется репером.
Реперами могут служить следующие наборы:
1. Три точки, которые не лежат на одной прямой.
2. Точка и прямая, не содержащая эту точку.
3. Две пересекающиеся (параллельные) прямые.
4. Треугольник или другая плоская фигура.
Учитывая, что метод двух изображений позволяет однозначно моделировать трехмерные объекты на плоскости, можно утверждать, что моделью плоскости, построенной методом двух изображений, является модель одного из ее реперов.