Определения и формулировки утверждений 7 класса
Определения
1. Середина отрезка – точка отрезка, которая делит отрезок на два равных отрезка.
2. Свойства длины отрезка:
1) длина отрезка – положительное число;
2) длины равных отрезков равны;
3) при сложении отрезков их длины складываются.
3. Периметр многоугольника это сумма длин всех его сторон.
4. Треугольник это замкнутая трёхзвенная ломаная, а также часть плоскости, ограниченная ей.
5. Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.
6. Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны между собой.
7. Два треугольника называются равными, если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника[1].
8. Окружность – это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые удалены от данной точки на заданное расстояние. Данная точка называется центром окружности.
9. Круг – меньшая часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая эту окружность. Другое определение: Круг – это фигура на плоскости, состоящая из всех точек плоскости, которые удалены от данной точки на расстояние не большее, чем заданное. Данная точка называется центром круга.
10. Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Также радиусом называют длину такого отрезка.
11. Окружности называются концентрическими, если у них общий центр, и они лежат в одной плоскости.
12. Хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки окружности.
13. Диаметр окружности – хорда окружности, проходящая через центр.
14. Дуга окружности – любая часть окружности, заключённая между двумя точками этой окружности.
15. Сектор круга – часть круга, ограниченная дугой и радиусами, проведёнными в концы этой дуги.
16. Сегмент круга – часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей концы этой дуги.
17. Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом, а также часть плоскости, ограниченная этими лучами. Общее начало лучей – вершина угла; лучи – стороны угла.
18. Развёрнутый угол – угол, стороны которого дополняют друг друга до прямой.
19. Смежные углы – углы, у которых одна сторона общая, а две другие дополняют друг друга до прямой.
20. Вертикальные углы – углы, стороны которых дополняют друг друга до прямых.
21. Выпуклый угол – угол, не больший развёрнутого.
22. Невыпуклый угол – угол, больший развёрнутого.
23. Хорда угла – отрезок, соединяющий две точки на разных сторонах угла, не совпадающие с его вершиной.
24. Два угла называются равными, если у них есть равные соответственные хорды.
25. Аксиома о свойстве равных углов: Соответственные хорды равных углов равны. Другая формулировка: если углы равны, то любые их соответственные хорды равны.
26. Прямой угол – это угол, составляющий половину развёрнутого угла. Другая формулировка: прямой угол – это угол, равный своему смежному.
27. Перпендикулярные прямые – прямые, которые при пересечении образуют прямые углы.
28. Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую – отрезок прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой, заключённый между данными точкой и прямой.
29. Нулевой угол – угол, стороны которого совпадают.
30. Тупой угол – угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого.
31. Острый угол – угол, который больше нулевого угла, но меньше прямого.
32. Биссектриса угла – луч, с началом в вершине угла, который делит угол на два равных.
33. Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до противоположной стороны.
34. Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его стороны, противолежащей этой вершине.
35. Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую ей сторону.
36. Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
37. Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Формулировки теорем и других утверждений
Признаки равенства треугольников:
1. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (этот признак совпадает с определением, но слово «равны» здесь и в остальных признаках можно понимать, как «являются равными»)
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если две стороны и угол, заключённый между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключённому между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.
4. Если сторона, прилежащий к ней и противолежащий ей углы одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней и противолежащему ей углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки параллельности прямых:
1. Если у двух прямых на плоскости есть общий перпендикуляр, то такие прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние или внешние накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.
4. Если при пересечении двух прямых секущей сумма двух внутренних или двух внешних односторонних углов составляет развёрнутый, то такие прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых
1. Если прямая, лежащая в плоскости параллельных прямых, пересекает одну из них, то она пересекает и вторую.
2. Если две прямые параллельны, то, при пересечении их секущей, внутренние и внешние накрест лежащие углы равны.
3. Если две прямые параллельны, то, при пересечении их секущей, соответственные углы равны.
4. Если две прямые параллельны, то, при пересечении их секущей, сумма двух внутренних или двух внешних односторонних углов составляет развёрнутый.
Неравенство треугольника
В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, а модуль разности – меньше.
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если медиана, проведённая к одной из сторон, является также и высотой или биссектрисой треугольника, то такой треугольник равнобедренный, причём равны стороны, исходящие из той же вершины, что и эта медиана.
2. Если высота, проведённая к одной из сторон, является также и медианой или биссектрисой треугольника, то такой треугольник равнобедренный, причём равны стороны, исходящие из той же вершины, что и эта высота.
3. Если биссектриса, проведённая к одной из сторон, является также и высотой или медианой треугольника, то такой треугольник равнобедренный, причём равны стороны, исходящие из той же вершины, что и эта биссектриса.
4. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный, причём равны различные стороны, прилежащие к данным углам.
5. Если две высоты в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный, причём равны стороны, к которым проведены эти высоты.
В дальнейшем будут доказаны и признаки равнобедренного треугольника по медианам (легко) и биссектрисам (не очень легко).
Свойства равнобедренного треугольника
1. Если треугольник равнобедренный, то медиана, проведённая к основанию, является также и высотой, и биссектрисой треугольника.
2. Если треугольник равнобедренный, то высота, проведённая к основанию, является также и медианой, и биссектрисой треугольника.
3. Если треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведённая к основанию, является также и высотой, и медианой треугольника.
4. Если треугольник равнобедренный, то два угла, прилежащие к основанию, равны.
5. Если треугольник равнобедренный, то две высоты, проведённые к равным сторонам, равны.
6. Если треугольник равнобедренный, то две медианы, проведённые к равным сторонам, равны.
7. Если треугольник равнобедренный, то две биссектрисы, проведённые к равным сторонам, равны.
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё.
1. Сумма углов любого треугольника составляет развёрнутый угол.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, несмежных с ним.
3. Любой угол равностороннего треугольника равен 60º.
4. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º.
5. Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n –2)·180º.
Некоторые замечательные факты о треугольниках.
1. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30º, равен половине гипотенузы.
2. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
3. В любом треугольнике любой внешний угол больше внутреннего, несмежного с ним.
Прочие замечательные факты
1. Точка равноудалена от концов отрезка тогда и только тогда, когда лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
2. Точка внутренней области угла равноудалена от сторон угла тогда и только тогда, когда лежит на биссектрисе угла.
Свойство А: Если А, то …. (то есть, мы уже знаем, что А и хотим этим воспользоваться)
Признак А: Если …, то А. (то есть, мы ещё не знаем, что А и хотим это проверить)
[1] Бывают и другие определения равенства треугольников. Мы будем строить теорию, исходя из данного определения