Решения и критерии оценивания заданий 13–19

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

^.

Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б ИЛИ Получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 13. Точки и середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

 

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении 5:1, считая от точки .

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью .

 

Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ в обоих пунктах
Верно доказан пункт а. ИЛИ Верно решён пункт б при отсутствии обоснований в пункте а
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

Решите неравенство

^.

Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

 

Точка центр окружности, описанной около остроугольного треугольника , центр вписанной в него окружности, точка пересечения высот. Известно, что .

 

а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника .

б) Найдите угол , если .

Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

 

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят тыс. рублей в конце года . В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях это возможно?

Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ Получен верный ответ, но решение недостаточно обоснованно
Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственный корень.

 

^. Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

Даны различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию .

 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение , если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения , если сумма всех данных чисел равна 129.

Решение:

 

 

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов: - обоснованное решение п. а; - обоснованное решение п. б; - искомая оценка в п. в; - пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл