Определение 1. Ряд вида
, (60)
где 
– комплексные постоянные, a 
– комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.
Определение 2. Ряд вида
(61)
называется степенным рядом общего вида.
Определение 3. Ряд вида
(62)
называется рядом, сходящимся к степенному общего вида.
Определение 4. Двусторонним называется ряд вида
. (63)
Областьсходимости степенного ряда (58) есть круг с центром в начале координат: 
, где 
–радиус сходимости. В некоторых cлучаяхон может быть определен по формулам
а) 
; б) 
. (64)
Для рядов (61) областью сходимости служит круг 
. Область сходимости ряда (62) ищется после проведения замены: 
. Ряд вида (63) сходится в области, в которой сходятся ряды
(65)
(66)
Пусть ряд (65) сходится в области 
, т.е. вне круга с центром в точке 
и радиуса 
, а ряд (66) в круге 
. Тогда, если: 1) 
, то ряд (63) расходится всюду; 2) 
, то ряд (63) сходится в кольце 
. Здесь 
, 
.
Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда 
.
Находим модуль коэффициента 
. Применяя формулу б) из (64), находим 
.
Пример 2. Найти область сходимости ряда 
.
Имеем 
, 
и 
. Следовательно, ряд сходится в области 
, т.е. вне круга с центром в точке 
радиуса 
.
Пример 3. Определить область сходимости ряда 
.
Для ряда 
имеем 
.
Следовательно, 
. Первый ряд сходится в области 
. Для степенного ряда 
имеем 
, 
. Его радиус сходимости 
, т.е. второй ряд сходится в области 
. Данный ряд расходится всюду.
Пример 4. Определить область сходимости ряда 
.
Для первого из рядов имеем 
, Следовательно, 
. Первый ряд сходится в области 
. Для второго ряда имеем 
. Радиус его сходимости 
– он сходится в области 
. Таким образом, данный ряд сходится в кольце 
.
Ряды Тейлора и Лорана
Ряд Тейлора
Однозначная и аналитическая в точке функция 
разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора
, (67)
где коэффициенты 
вычисляются по формулам
. (68)
Здесь 
– окружность с центром в точке , целиком лежащая в областианалитичности . Областью сходимости ряда является круг c центром в точке разложения радиуса . Этот радиус равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки – точки, в которой теряет аналитичность. В круге сходимости этого ряда суммой его является функция .
Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге 
, однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (67), коэффициенты которого определяются по формулам (68).
Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцированиястепенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При 
ряд (67) называется рядом Маклорена.
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:
1)  
2)  ,
3)  ,
4) 
5)  ;
6)  ;
7)   ;
8)  .
| (69) |
Пример 1. Разложить в ряд по степеням 
функцию 
.
Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции: 
. Воспользуемся разложением 4) из (69) для 
, полагая 
. Так как разложение 4) имеет место при 
, то наше разложение будет иметь место при 
. Таким образом, для 
.
Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.
Пример 2. Разложить в ряд по степеням функцию 
.
Разложим на простейшие дроби: 
.
По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (69) получаем:
и 
.
замечая, что 
, и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости получаем:
.
Складывая ряды для 
и 
, получаем 
.
Ряд Лорана
Определение. Рядом Лорана называется ряд
.
При этом ряд 
называется главной частью ряда Лорана, а ряд 
– правильной частью. Если 
, то областью сходимости ряда является кольцо 
.
Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представимав виде ряда Лорана (63), коэффициенты которого вычисляются по формулам:
. (70)
Заметим, что из этой теоремы кольца разложимости определяются через расстояния от центра разложения до двух "соседних" особых точек . Вычисление контурных интегралов (70), как правило, затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.
Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце 
функцию 
.
Преобразуем данную функцию:
. (
)
Первые два слагаемых в правой части () имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности 
. Последние два слагаемых запишем в виде: 
, 
.
Применив формулы 7), а затем 8) (из (69)), найдем
, (
)
. (
)
Подставляя () и () в формулу (), после несложных преобразований получаем разложение в кольце в ряд Лорана:
.
Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию 
в окрестности .
Для любого комплексного 
, 
. Полагая 
, получаем: 
. Это разложение справедливо для любой точки 
. В данном случае "кольцо" представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой 
.
Пример 3. Получить различные разложения в ряд Лорана функции 
.
Функция имеет две особые точки: 
и 
. Следовательно, имеется три "кольца" с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг 
; б) 
; в) 
– внешность круга 
. Найдем ряды Лорана для функции в каждом из этих "колец". Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей:
. ().
а) Разложение в круге . Преобразуем () следующим образом:
. ()
Используя формулу 7) из (69), получаем: 
();
далее 
(
).
Подставляя эти разложения в (), получаем: 
– это разложение есть ряд Маклорена функции .
б) Разложение в кольце . Ряд () для функции 
остается сходящимся в этом кольце, так как 
. Ряд () для функции 
расходится для 
. Поэтому преобразуем следующим образом:
. (
)
Применяя формулу 7), получаем:
. (
)
Этот ряд сходится, если 
, т.е. при . Подставляя () и () в (), найдем 
.
в) Разложение для 
. Ряд () для функции 
при расходится, а ряд () для функции 
сходится, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде:
.
Используя формулу 7), получаем
.
Замечание: этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.
Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию 
в окрестности ее особых точек.
Особые точки функции: 
.
а) Разложение в окрестности точки 
, т.е. в кольце 
. Представим функцию в виде суммы простейших дробей: 
. Правую часть преобразуем так: 
. Применяя разложение 7), в котором заменим на – , получим 
или 
.
б) Разложение в окрестности точки 
, т.е. в кольце 
. Имеем
.