Степенные, сходящиеся к ним и двусторонние ряды

 

Определение 1. Ряд вида

, (60)

где – комплексные постоянные, a – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.

Определение 2. Ряд вида

(61)

называется степенным рядом общего вида.

Определение 3. Ряд вида

(62)

называется рядом, сходящимся к степенному общего вида.

Определение 4. Двусторонним называется ряд вида

. (63)

Областьсходимости степенного ряда (58) есть круг с центром в начале координат: , где –радиус сходимости. В некоторых cлучаяхон может быть определен по формулам

а) ; б) . (64)

Для рядов (61) областью сходимости служит круг . Область сходимости ряда (62) ищется после проведения замены: . Ряд вида (63) сходится в области, в которой сходятся ряды

(65)

(66)

Пусть ряд (65) сходится в области , т.е. вне круга с центром в точке и радиуса , а ряд (66) в круге . Тогда, если: 1) , то ряд (63) расходится всюду; 2) , то ряд (63) сходится в кольце . Здесь , .

Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Находим модуль коэффициента . Применяя формулу б) из (64), находим .

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Имеем , и

. Следовательно, ряд сходится в области , т.е. вне круга с центром в точке радиуса .

Пример 3. Определить область сходимости ряда .

Для ряда имеем .

Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для степенного ряда имеем , . Его радиус сходимости , т.е. второй ряд сходится в области . Данный ряд расходится всюду.

Пример 4. Определить область сходимости ряда .

Для первого из рядов имеем , Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для второго ряда имеем . Радиус его сходимости – он сходится в области . Таким образом, данный ряд сходится в кольце .

 

Ряды Тейлора и Лорана

 

Ряд Тейлора

Однозначная и аналитическая в точке функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора

, (67)

где коэффициенты вычисляются по формулам

. (68)

Здесь – окружность с центром в точке , целиком лежащая в областианалитичности . Областью сходимости ряда является круг c центром в точке разложения радиуса . Этот радиус равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки – точки, в которой теряет аналитичность. В круге сходимости этого ряда суммой его является функция .

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге , однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (67), коэффициенты которого определяются по формулам (68).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцированиястепенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (67) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

1) 2) , 3) , 4) 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

(69)

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции: . Воспользуемся разложением 4) из (69) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням функцию .

Разложим на простейшие дроби: .

По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (69) получаем:

и .

замечая, что , и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости получаем:

.

Складывая ряды для и , получаем .

Ряд Лорана

Определение. Рядом Лорана называется ряд

.

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд – правильной частью. Если , то областью сходимости ряда является кольцо .

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представимав виде ряда Лорана (63), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

. (70)

Заметим, что из этой теоремы кольца разложимости определяются через расстояния от центра разложения до двух "соседних" особых точек . Вычисление контурных интегралов (70), как правило, затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Преобразуем данную функцию:

. ()

Первые два слагаемых в правой части () имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , .

Применив формулы 7), а затем 8) (из (69)), найдем

, ()

. ()

Подставляя () и () в формулу (), после несложных преобразований получаем разложение в кольце в ряд Лорана:

.

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Для любого комплексного , . Полагая , получаем: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае "кольцо" представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой .

Пример 3. Получить различные разложения в ряд Лорана функции .

Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три "кольца" с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) ; в) – внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции в каждом из этих "колец". Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей:

. ().

а) Разложение в круге . Преобразуем () следующим образом:

. ()

Используя формулу 7) из (69), получаем: ();

далее ().

Подставляя эти разложения в (), получаем: – это разложение есть ряд Маклорена функции .

б) Разложение в кольце . Ряд () для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд () для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:

. ()

Применяя формулу 7), получаем:

. ()

Этот ряд сходится, если , т.е. при . Подставляя () и () в (), найдем .

в) Разложение для . Ряд () для функции при расходится, а ряд () для функции сходится, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде:

.

Используя формулу 7), получаем

.

Замечание: этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Особые точки функции: .

а) Разложение в окрестности точки , т.е. в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором заменим на – , получим или .

б) Разложение в окрестности точки , т.е. в кольце . Имеем

.