Занятие № 4
Пример 1. В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты приведены в таблице:
| Число выбывших станков | |||||||||||
| Число случаев |
Проверить гипотезу о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона. Принять α = 0,05.
Последовательность выполнения
Закон распределения Пуассона имеет вид:
,
где: n - число испытаний; k - число появления события А в n испытаниях; l=np, p - вероятность появления события А в одном испытании.
Ввести в диапазон А2:А12 число станков, а в диапазон В2:В12 - число случаев.
В ячейке В13 рассчитать число случаев. Для этого в ячейку ввести формулу: =СУММ(В2:В12). Получим результат: 200.
В ячейке В14 рассчитать общее число отказов по формуле: =СУММПРОИЗВ(А2:А12; В2:В12). Получим результат: 360.
В ячейке В15 рассчитать значение параметра 
по формуле: =B14/B13.
Для расчёта теоретических частот введём следующие формулы:
В ячейку С2: =ПУАССОН(A2;$B$15;ИСТИНА)*$B$13
В ячейку С3:
=(ПУАССОН(A3;$B$15;ИСТИНА)-ПУАССОН(A2;$B$15;ИСТИНА))*$B$13
Протянуть формулу из ячейки С3 до ячейки С12. В диапазоне С2:С12 получим значения теоретических частот.
Так как частоты в ячейках C8:C12 меньше 5, то их следует объединить с ячейкой С7.
В диапазонах D2:D7 и E2:E7 получить окончательное распределение частот.
В диапазоне F2:F7 вычислить квадраты наблюдаемых частот по формуле: =D2:D7^2.
В диапазоне G2:G7 вычислить квадраты наблюдаемых частот по формуле: =F2:F7/E2.
В ячейке G9 найти сумму по формуле =СУММ(G2:G7).
Наблюдаемое значение критерия вычислить в ячейке G10 по формуле: = G9-В13. Получим результат: 12,94.
Для расчёта критического значения критерия хи-квадрат воспользуемся функцией ХИ2ОБР(вероятность; степени_свободы). В качестве вероятности зададим уровень значимости 0,05, а число степеней свободы будет равно 4 (6-1-1).
В ячейку G11 ввести формулу:
= ХИ2ОБР(0,05;4). Получим результат: 9,488.
Так как 
> 
(12,94>9,488), то гипотезу о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона, следует отклонить.
Пример 2. Был измерен вес (в кг) у 55 обезьян-павианов. По выборке был построен интервальный статистический ряд. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, приняв уровень значимости α = 0,1.
| Номер интервала, k | Границы интервала
| Наблюдаемая частота, mi |
| 10 - 12 | ||
| 12 - 14 | ||
| 14 - 16 | ||
| 16 - 18 | ||
| 18 - 20 | ||
| 20 - 22 | ||
| 22 - 24 |
Последовательность выполнения
Ввести исходные данные в диапазон A2:C8. В диапазоне D2:D8 рассчитать середины интервалов по формуле =(B2+C2)/2, которую затем протянуть до D8.
В ячейки E2:E8 ввести наблюдаемые частоты.
В ячейку E9 ввести объём выборки n = 55.
В ячейке В10 рассчитать среднее выборки по формуле
=СУММПРОИЗВ(D2:D8;E2:E8)/$E$9.
В ячейке В11 рассчитать выборочную дисперсию по формуле:
=СУММПРОИЗВ(D2:D8;D2:D8;E2:E8)/$E$9-B10^2.
В ячейке В12 рассчитать выборочное стандартное отклонение: =КОРЕНЬ(В11).
Для расчёта теоретических частот в ячейку F2 формулу:
=(НОРМРАСП(C2;$B$10;$B$12;ИСТИНА)-НОРМРАСП(B2;$B$10;$B$12;ИСТИНА))*$E$9,
которую затем протянем до ячейки F8.
Так как для первого интервала левая граница принимается равной - ∞, то исправим формулу в ячейке F2:
=(НОРМРАСП(C2;$B$10;$B$12;ИСТИНА)-0)*$E$9.
Так как для последнего интервала правая граница принимается равной + ∞, то исправим формулу в ячейке F8:
=(1-НОРМРАСП(B8;$B$10;$B$12;ИСТИНА))*$E$9.
Объединим частоты для первого и второго интервалов, а также для шестого и седьмого интервалов.
В ячейке I11 рассчитаем значение критерия хи-квадрат: 1,11.
Найдём критическое значение критерия для α = 0,1 и числа степеней свободы 5-2-1=2 с использованием функции:
= ХИ2ОБР(0,1;2). Получим результат: 4,61.
Так как < (1,11<4,61), то гипотезу о том, что вес обезьян подчиняется нормальному закону, следует принять.
Пример 3. Две группы выпускников двух высших учебных заведений (1 и 2) (в первой группе 9 человек, во второй -10), получили оценки своих административных способностей в баллах.
1 вуз: 26; 23; 19; 21; 14; 18; 29; 17; 12.
2 вуз: 16; 10; 8; 3; 24; 20; 7; 15; 9; 22.
С помощью критерия Манна-Уитни при уровне значимости a £ 0,025 проверить нулевую гипотезу о том, группа выпускников первого вуза не превосходит группу выпускников второго вуза по уровню административных способностей.
Последовательность выполнения
Сформулируем гипотезы:
H 0: Группа выпускников первого вуза не превосходит группу выпускников второго вуза по уровню административных способностей (т.е. различия незначимы).
H 1: группа выпускников первого вуза превосходит группу выпускников второго вуза по уровню административных способностей. (В данном случае H 1 является направленной).
Введём исходные данные в ячейки A2:A10 (показатели выпускников 1 вуза) и в ячейки B2:B11 (показатели выпускников 2 вуза).
В ячейках C2:C20 составим объединенную выборку и выпоним ранжирование. Для этого в ячейку D2 введём формулу =РАНГ(C2,$C$2: $C$20;1) и протянем её до ячейки D20.
В ячейки F7 и F8 введём объемы выборок, а в ячейку F9 - объём объединённой выборки.
В ячейках F10 и F11 рассчитаем суммы рангов элементов каждой из выборок по формулам:
=СУММ(D2:D10) и =СУММ(D11:D20).
Получим результаты: 112 и 78.
Выполним проверку правильности ранжирования, вычислив общую сумму рангов, и сравним её с суммой рангов, найденной по формуле:
.
В ячейку F13 введём формулу = F10+F11. Получим результат: 190. В ячейку F14 введём формулу =F9*(F9+1)/2. Получим результат: 190. Следовательно, ранги приписаны правильно.
Находим большую из двух ранговых сумм 
= 112 (соответствует первой выборке n 1 = 9), т. е. nx = 9. Запишем эти значения в ячейки F15 и F16.
Находим наблюдаемое значение критерия. В ячейку F17 введём формулу =F7*F8+F15*(F15+1)/2-F16. Получим результат: 23.
Находим критическое значение критерия. По таблице определяем критическое значение в случае направленной альтернативы, причем меньшее n принимаем за n 1 (n 1 =9), а большее за n 2 (n 2 =10). 
=23 для a £ 0,025.
Вывод: так как 
£ 
, то H 0 отвергается и принимается гипотеза H 1.