Пример 6. Для условий примера 1 вычислить оценки асимметрии и эксцесса.
Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения
Интервальной оценкой математического ожидания μ нормального распределения при известной дисперсии 
называется интервал
, 
,
удовлетворяющий равенству: 
, где: γ ─ заданная доверительная вероятность, μ ─ истинное математическое ожидание, 
─ точечная оценка математического ожидания, n ─ объём выборки; число 
находится из уравнения 
, где 
─ функция Лапласа.
Интервальная оценка математического ожидания находится по формуле:
.
В MS Excel для вычисления величины 
предназначена функция (категория Статистические):
ДОВЕРИТ(Альфа;Станд_откл;Размер),
где: Альфа ─ уровень значимости 
, используемый для вычисления уровня надёжности 
. Уровень надёжности равняется 
процентам; Станд_откл ─ стандартное отклонение 
генеральной совокупности, предполагается известным; Размер ─ объём выборки n.
Пример 7. По выборке объёма n =50 найдено значение выборочного среднего =3,5. Стандартное отклонение равно =2,5. Построить доверительный интервал для генерального среднего с уровнем надёжности 95%.
Последовательность выполнения
- Вычислить уровень значимости:
.
2. Ввести в ячейку А1 формулу =ДОВЕРИТ(0,05;2,5;50). В А1 появится результат: 0,693.
- Вычислить границы доверительного интервала:
;
.
С вероятностью 0,95 математическое ожидание (генеральное среднее) принадлежит интервалу (2,807; 4,193). Математически этот вывод выражается формулой 
.
Интервальной оценкой математического ожидания μ нормального распределения при неизвестной дисперсии 
называется интервал:
, 
,
удовлетворяющий равенству: ,
где γ ─ заданная доверительная вероятность, μ ─ истинное математическое ожидание, ─ точечная оценка математического ожидания, 
─ исправленная выборочная дисперсия; n ─ объём выборки; число 
находится из уравнения 
, где 
─ функция распределения Стъюдента.
Интервальная оценка математического ожидания находится по формуле:
.
В MS Excel для вычисления величины 
предназначена функция (категория Статистические):
СТЪЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы),
где: вероятность ─ уровень значимости 
; степени_свободы ─ число степеней свободы 
.
Пример 8. По выборке объёма n = 20 найдено выборочное среднее =3,5 и исправленное среднеквадратическое отклонение 
. Построить доверительный интервал для генерального среднего с уровнем надёжности 95%.
- Ввести в ячейку А1 формулу = СТЪЮДРАСПОБР(0,05;19). В А1 появится результат: 2,093.
2. Вычислить границы доверительного интервала:
;
;
.
Доверительный интервал для генерального среднего имеет вид:
.
Доверительный интервал для генеральной дисперсии нормально распределённого признака Х определяется на основе соотношения
,
где: γ ─ заданная доверительная вероятность, ─ исправленная выборочная дисперсия; n ─ объём выборки; 
и 
определяются из условий
, 
Для вычисления и используется функция