ГЛАВА 9. ГРУППЫ
Основные определения и примеры
Определение.Группой называется множество G элементов произвольной природы, в котором задана внутренняя операция, удовлетворяющая трtм аксиомам.
1*.
2*.
3*.
Таким образом, групповая операция ассоциативна, в группе есть нейтральный элемент, и каждый элемент в группе имеет обратный.
Если групповая операция, кроме того, коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.
Если групповая операция – сложение, то группа называется аддитивной, если – умножение, то – мультипликативной.
Примеры
1. Любое линейное пространство – абелева аддитивная группа.
2. Множество всех матриц – абелева аддитивная группа.
3. – множество невырожденных матриц п- го порядка с элементами из поля Р – это мультипликативная группа.
4. - множество матриц п- го порядка с элементами из Р, определитель которых равен единице, – мультипликативная группа.
5. Множества унитарных и ортогональных матриц соответственно n -го порядка – мультипликативные группы.
6. Множества эрмитовых и симметричных матриц n -го порядка – аддитивные группы.
7. – линейный
– аддитивная группа.
8. – линейный невырожденный
– мультипликативная группа.
9. Множества унитарных и ортогональных операторов соответственно в n -мерном евклидовом пространстве – мультипликативные группы.
10. Множества и
эрмитовых и симметричных операторов соответственно в n- мерном евклидовом пространстве – аддитивные группы.
Подмножество H группы G называется ее подгруппой, если оно само является группой относительно операции, заданной в G. Такимобразом,
O (n) – подгруппа U (n), которая, в свою очередь, является подгруппой группы ; S (n) – подгруппа H (n), а она – подгруппа группы
.
Определение. Пусть и
– группы. Отображение
называется изоморфизмом групп, если оно взаимно однозначное и сохраняет групповую операцию, т. е. если
.
Например, следующие группы изоморфны: ,
,
,
. Напоминаем, что в математике изоморфные объекты не различаются, поэтому матричные группы и соответствующие группы операторов обозначаются одинаково, а волну для их различения мы ставили временно. О какой именно из групп идет речь – матричной или операторной – должно быть понятно из контекста.
Приведем еще один интересный пример изоморфизма. Пусть – аддитивная группа, а
– мультипликативная. Рассмотрим следующее отображение:
:
положим
. Так как
единственное
такое, что
, то
– взаимно однозначное. Кроме того,
, значит, f – изоморфизм. Таким образом, аддитивная группа
изоморфна мультипликативной группе
.
Простейшие следствия из аксиом
1º.В каждой группе существует единственный нейтральный элемент.
2º.В группе каждый элемент имеет единственный обратный.
3º. каждое из уравнений
и
в группе G имеет единственное решение.
►Первые два следствия доказываются точно так же, как и соответствующие утверждения для линейных пространств, и вы это можете легко сделать самостоятельно в качестве упражнения. Доказательство третьего проведем для уравнения
. (9.1)
а) Существование решения. Положим . Подставляя в (9.1), получаем
, и, таким образом, x – действительно решение уравнения (9.1).
б) Единственность. Предположим, что (9.1) имеет два разных решения x 1 ≠ x 2. Тогда:
.
Таким образом, мы пришли к противоречию.◄
Группа Лоренца
Рассмотрим пространство Минковского
с введенным в нем скалярным произведением
и выберем в этом пространстве следующий базис:
. (9.2)
Матрица Грама этого базиса имеет вид
.
Очевидно, , где
и
– координатные столбцы векторов
и
соответственно в базисе (9.2).
Определение.Преобразованием Лоренца называется линейный оператор , сохраняющий скалярное произведение, т. е. такой, что
Лемма. Для того, чтобы линейный оператор был преобразованием Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы его матрица А в базисе (9.2) удовлетворяла условию
. (9.3)
Доказательство леммы вы можете провести самостоятельно в качестве упражнения.
Следствие. Преобразование Лоренца – невырожденный линейный оператор.
► Из (9.3) следует, что . Таким образом, матрица преобразования Лоренца невырождена, а значит, и само преобразование невырождено.◄
В качестве примера преобразования Лоренца можно взять преобразование со следующей матрицей в базисе (9.1):
.
Теорема. Множество всех преобразований Лоренца является группой относительно операции умножения линейных операторов.
►Обозначим L – множество всех преобразований Лоренца. Тогда :
и, таким образом, замкнуто относительно операции умножения.
Ассоциативность операции произведения любых отображений была доказана в § 1 гл. 4. Если e – тождественный оператор, то очевидно, что . Кроме того, любой лоренцов оператор является невырожденным, поэтому
. Покажем, что и
. Действительно,
,
откуда и вытекает, что .
Таким образом, множество удовлетворяет всем условиям из определения группы. ◄
Группа всех преобразований Лоренца и называется группой Лоренца.
ЛИТЕРАТУРА
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра / Учебник. М.: Наука, 1984.
Беклемишев Д.В. / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебное пособие. М.: Наука,1980
Шикин Е.В. / Линейные пространства и отображения: Учебное пособие. М.: МГУ, 1987
Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. / Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Минск. Вышэйшая школа, 1963.
Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. / Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Под ред. Воднева В.Т. Учебное пособие. Минск: Вышэйшая школа, 1986
Русак В., Шлома Л., Ахраменка В., Крачкоускi А. Кypс вышэйшай матэматыкi. Алгебра i геаметрыя, аналiз функцый адной зменнай: Падручнiк. Мн.: Вышэйшая школа, 1994
Мак-Коннел А.Дж. / Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М., Физматгиз, 1963.
Рашевский П.К. / Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1987.
Акивис М.А., Гольдберг В.В. / Тензорное исчисление. М., Наука, 1972.