Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке

Классификация расчётных схем

• По характеру учёта пространственной работы – одно-, двух- и трёхмерные.

• По виду неизвестных – дискретные, дискретно-континуальные и континуальные.

• По виду конструкций, положенных в основу расчётной схемы – стержневые, пластинчатые, оболочковые и массивные.

• По учёту инерционных сил – статические и динамические.

Расчётная схема состоит из условных элементов: стержней, пластин, оболочек, массивов и связей. Связи в расчётных схемах соединяют между собой отдельные элементы, а также конструкцию с основанием.

Вопр. 2.

. Помимо гипотез уже известных из курса сопротивления материалов:

1. Материал является однородным (свойства одинаковы во всех точках).

2. Материал является изотропным (свойства одинаковы во всех направлениях).

3. Гипотеза сплошности материала (материал тела является сплошным, непрерывным образом заполняет весь объём. Данная гипотеза относится как к не деформированному так и к деформированному состоянию)

В строительной механике существенную роль играют гипотезы, определяющие характер деформирования системы. С этой точки зрения наиболее важной является концепция линейно-деформируемой системы. Основными гипотезами, принимаемыми при определении линейно-деформируемой модели, являются:

4. Гипотеза идеальной упругости материала (т.е. гипотеза справедливости закона Гука, который устанавливает линейную зависимость между деформациями и напряжениями (между перемещениями и внешней нагрузкой).

5. Гипотеза малости деформаций и перемещений.

В более обобщённом виде гипотеза о малости перемещений может быть представлено принципом относительной жёсткости сооружения, в силу которого деформации элементов и отношение перемещений любой его точки к некоторому характерному наименьшему линейному размеру элемента должно быть намного меньше единицы.

Две последние гипотезы позволяют:

1) Выполнить расчёт по недеформированному состоянию, т.е. при определении опорных реакций и внутренних усилий пренебрегать деформациями в системе

2) Использовать принцип независимости действия (принцип наложения, принцип суперпозиций).

Согласно которому суммарное воздействие нескольких факторов = сумме воздействий отдельно каждого фактора.

 

Вопр. 3. Кинематический анализ расчетных схем дает ответ, к какой группе относится данное сооружение: геометрически неизменяемым, геометрически изменяемым или мгновенно-изменяемым системам; способно ли оно воспринимать нагрузку.

Вопр. 4.Мгновенно изменяемая система — в строительной механике это система с двумя стержнями, лежащими на одной оси. Такая система является геометрически изменяемой, так как её форма может меняться при неизменной длине стержней. Концы двух стержней, будучи освобождёнными от наложенных связей, описывают дуги с радиусами, равными длинам стержней. Если точка крепления одного из стержней получит смещение по общей касательной этих дуг, то другой стержень не сможет воспрепятствовать этому смещению. Таким образом смещение произойдёт без деформации стержней.

Вопр. 5. Расчет многопролетной шарнирно-консольной балки удобно вести по частям, начиная от самых «верхних» балок и последовательно переходя к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учитывать не только ту нагрузку, которая к ним непосредственно приложена, но и опорные давления от вышележащих балок, равных опорным реакциям последних, но имеющих обратное направление.

Вопр. 6. Линия влияния - линия, ординаты которой выражают значение усилий или перемещений в данной точке или элементе конструкции в зависимости от положения движущейся по конструкции сосредоточенной единичной силы постоянного направления.

Вопр. 7. Линии влияния усилий при узловой передаче нагрузки. В конструкциях нагрузка (подвижная и неподвижная) может передаваться не непосредственно, а через вспомогательные балки, которые опираются на главную балку в узлах. Такой способ передачи нагрузки называется узловым. Особенность расчета на узловую передачу нагрузки заключается в построении передаточной прямой ─ прямых линий, соединяющих вершины ординат под смежными узлами.

Вопр. 8. Кинематический способ построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа). Если система твёрдых тел, связанная между собой идеальными связями, находится в равновесии, то сумма работ всех заданных сил на любых сколь угодно малых возможных перемещениях равна нулю.

Вопр. 9. Если в данном сечении сооружения от подвижной системы грузов возникает наибольшее значение усилия J, то положение нагрузки является невыгодным. При невыгодном положении нагрузки один из грузов обязательно находится над вершиной линии влияния и называется критическим. Определение усилий по линиям влияния в случае действия подвижной системы сосредоточенных грузов заключается в отыскании критического груза и производится в следующем порядке:

один из грузов устанавливается над одной из вершин линии влияния, при этом наибольший груз следует устанавливать над наибольшими ординатами линии влияния;

критический груз определяют методом попыток, проверяя, удовлетворяется ли критерий опасного положения нагрузки.

Вопр. 10. Определение невыгодного положения груза по линиям влияния. Кинематический способ построения линий влияния усилий основан на принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа), определяющего условие равновесия системы сил: если система находится в равновесии, то сумма работ всех действующих на систему сил на любых возможных бесконечно малых перемещениях должна быть равна нулю.

Одной из основных задач расчета конструкций на подвижную нагрузку является определение такого ее положения, при котором в отдельных элементах или их сечениях возникают наибольшие усилия. Это положение нагрузки называется невыгодным и определяется оно наиболее просто с помощью линий влияния.

Рассмотрим задачу об определении невыгодного положения грузов, или, что то же, невыгодного загружения линии влияния, для случая, когда линия влияния имеет треугольное очертание. Такую форму имеют линии влияния изгибающих моментов для однопролетной балки и усилий в поясах большинства ферм. Пусть на балке перемещается система сосредоточенных связанных грузов и ни один из них в данный момент не находится над вершиной линии влияния.

Таким образом, при переходе грузов через положение, при котором имеет место невыгодное загружение линии влияния, знак производной меняется. Так как оба члена в выражении производной постоянны, то изменение ее знака может произойти лишь в том случае, когда один из грузов перейдет через вершину линии влияния с одного ее участка на другой. Но предварительно этот груз должен оказаться над вершиной линии влияния, при этом положении в рассматриваемом сечении будет возникать наибольшее усилие, т. е. иметь место невыгодное загружение линии влияния.

 

Вопр. 12.Статически определимая рама – конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, закрепленных так, что опорные реакции и внутренние усилия можно найти с помощью уравнений статики. Чаще всего стержни рамы соединены между собой жестким образом, так, что в процессе деформации угол между стержнями не меняется. Мы будем рассматривать только плоские рамы, стержни которых расположены под углом 90°. Вертикальные стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные – ригелями. В стержнях плоских рам возникают три внутренних усилия: продольная и поперечная силы и изгибающий момент.

Вопр. 13.Фе́рма (фр. ferme, от лат. firmus прочный), в строительной механике стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после замены её жёстких узлов шарнирными. В элементах фермы, при отсутствии расцентровки стержней и внеузловой нагрузки, возникают только усилия растяжения-сжатия. Фермы образуются из прямолинейных стержней, соединенных в узлах.

Классификация Фермы классифицируют по следующим признакам:

· Характер очертания внешнего контура

· Параллельные пояса

· Ломаные пояса

· Полигональные пояса

· Треугольные пояса

· Тип решётки

· Треугольная

· Раскосная

· Полураскосная

· Ромбическая

· Тип опирания

· Балочный

· Арочный

· Консольный

· Балочно-консольный

Фермы широко используются в современном строительстве, в основном для перекрытия больших пролётов: мосты, стропильные системы промышленных зданий, спортивные сооружения.Так же данная конструкция может использоваться специалистами при производстве различных видов павильонов, сценических конструкций, тентов и подиумов.

Вопр.14. Для определения усилий в стержнях фермы необходимо знать все действующие на ферму внешние силы, среди которых, как известно, выделяют нагрузки и опорные реакции.
Нагрузки задаются условиями задачи, а опорные реакции вычисляются совершенно так же, как для балок (см. п. 9.6.1), т. е. на основе уравнений равновесия.
После определения всех внешних сил приступают к расчету усилий в стержнях фермы. Это можно делать одним из трех методов:

методом вырезания узлов;

методом сквозных сечений (или методом моментных точек);

Вопр.15. графическим методом (построением диаграммы Максвелла-Кремоны). (Линии влияния усилий в стержнях ферм).

Пример: Определить усилия во всех стержнях фермы, показанной вместе с приложенными силами на рис. 1.20, если:

Решение. Рассматривал ферму как одно твердое тело, составляем уравнения равновесия приложенной к ней плоской системы внешних сил – заданных Используем первую форму уравнений равновесия плоской системы сил:

Из этих уравнений находим:

Покажем применение метода вырезания узлов.

Вырежем узел А. Для этого освобождаем его от связей - внешней (шарнирно-неподвижной опоры) и внутренней (стержней 1 и 2), приложив реакции опоры и стержней , (рис. 1.21). Составляем два уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил, приложенных и точке А:

Из них находим:

Стержень 1 растянут, стержень 2 сжат.

Далее вырезаем узел С, так как для него неизвестны усилия лишь в двух cтержнях (3 и 4). Схема приложения сил показана на рис. 1.22. Реакция стержня 2 на узел С обозначена . Она также направлена от узла в сторону стержня, т.е. противоположно реакции стержня 2 на узел А, и равна ей как по величине, так и по знаку:

Уравнения равновесия узла С имеют вид:

Из этих уравнений определяем:

Оба стержня сжаты. Для дальнейшего расчета усилий в стержнях методом вырезания узлов можно последовательно вырезать узлы D, E и В.

(Ответы:

Покажем применение метода сквозных сечений.

Рассекаем ферму по стержням 4, 5, 6 на две части, правую часть мысленно отбрасываем, а к левой прикладываем реакции перерезаемых стержней (рис. 1.23). Для левой части фермы составляем уравнения равновесия:

Точки D и Е выбраны в качестве центров моментов потому, что в каждой из них пересекаются линии действия двух неизвестных сил, а ось У - в качестве оси проекций потому, что к ней две неизвестные силы перпендикулярны. Заметим, что ось У не перпендикулярна отрезку DE (вторая форма уравнений равновесия). В результате мы составили 3 уравнения, в каждом из которых по одной неизвестной. Из этих уравнений получили те же значения реакций:

 

Вопр. 16. система – система жестких дисков, образованная из трех дисков (один из которых – основание), связанных между собой шарнирами (рис. 5.1).

Различают следующие основные типы трехшарнирных (распорных) систем:

1. Если в трехшарнирной системе два диска являются

прямолинейными или ломанными стержнями, то такая конструкция называется трехшарнирной рамой.

2. Если в трехшарнирной системе два диска являются сквозными решетчатыми конструкциями, то такая система называется трехшарнирной арочной фермой (рис. 5.3).

3. Арки – сооружения, у которых два диска представляют собой криволинейные стержни, оси которых описаны аналитически или заданы таблично (рис. 5.4).

Расстояние между опорами называют пролетом арки, а расстояние от шарнира С до прямой, соединяющей опоры – f – стрелой подъема арки. Иногда шарнир С называют ключом (замком) арки, а опорные шарниры – пятовыми или пятами арки.

В общем случае трехшарнирные системы могут быть как симметричные, так и несимметричные.

Разновидностями трехшарнирных систем могут быть системы с затяжками (рис. 5.5).

Различные типы трехшарнирных систем нашли широкое применение в мостостроении, сельском строительстве, при перекрытии больших пролетов промышленных цехов, зрелищных сооружений, где они являются экономичными и надежными.

Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке

Рассмотрим арку загруженную вертикальной нагрузкой (рис. 5.6). Найдем внутренние усилия в некотором сечении, положение которого определено координатами и y (рис. 5.6). Рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис. 5.7).

Определим внутренние усилия в сечении с известными координатами x и y из следующих условий равновесия рассматриваемой отсеченной левой части арки:

Найдем изгибающий момент Mx:

,

откуда

.

Обратим внимание на то, что выражение

отвечает изгибающему моменту в сечении x в эквивалентной балке (рис. 5.7).

Окончательно

.

Из полученной формулы следует, что изгибающий момент в арке меньше, чем в эквивалентной балке.

Найдем поперечную силу :

,

откуда, с учетом, что – поперечнаясилав сечении x в эквивалентной балке, получим:

.

Отметим, что поперечная сила в арке меньше, чем в аналогичной балке.

Нормальную силу в сечении x определим из условия равновесия в виде равенства нулю проекций всех сил слева от сечения на ось :

Как видно из полученного выражения, в арке нормальная сила сжимающая и хотя ее величина возрастает по сравнению с поперечной силой в аналогичной балке, но большинство строительных материалов хорошо работают на сжатие, чего не скажешь о растяжении.

Расчет арки обычно ведется следующим образом:

– арка мысленно разбивается на ряд участков, чтобы в сечения обязательно попали сосредоточенные силы и дополнительные, так как эпюры внутренних сил впри любой нагрузке криволинейны. Следует предусмотреть достаточное количество сечений для достижения точности расчета;

­– расчет ведется в табличной форме, форма таблицы будет показана на практических занятиях.

Понятие о рациональной оси арки

Рациональной осью арки называется такое ее очертание, когда изгибающий момент во всех сечениях равен нулю.

В силу определения рациональной оси арки положим, что

.

Проведем элементарные преобразования:

.

Полученное выражение утверждает, что для того, чтобы ось арки была рациональной, закон ее изменения должен отвечать закону изменения балочного изгибающего момента.

Примером рациональной оси арки является параболическая кривая, если на арку действует равномерно распределенная нагрузка:

.

По такой формуле следует принять закон изменения оси арки при расчете ее в контрольной работе.