Задачи для самостоятельного решения




Задача 49. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения директрис эллипсов:

1) ; 3) ;
2) ; 4) .

Задача 50. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:

1) его полуоси равны и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8;

3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10;

4) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет ;

5) его большая ось равна 20, эксцентриситет ;

6) его малая ось равна 6 и точка принадлежит эллипсу;

7) расстояние между его директрисами равно 5, а расстояние между фокусами равно 4;

8) его большая ось равна 8, а расстояние между его директрисами равно 16;

9) его малая ось равна 6, а расстояние между его директрисами равно 13;

10) расстояние между его директрисами равно 32, а эксцентриситет равен ;

11) он проходит через точку и эксцентриситет равен ;

12) он проходит через точку и её расстояние от левого фокуса равно 20.

Задача 51. Найти точки эллипса , расстояние которых до правого фокуса равно 14.

Задача 52. Найти точки эллипса , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.

Задача 53. Найти длину хорды эллипса, которая делит пополам угол между осями, если:

1) ;

2) .

Задача 54. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса .

Задача 55. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус и верхнюю вершину эллипса .

Задача 56*. На эллипсе найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше чем её расстояние от левого фокуса.

Задача 57*. Дан эллипс и окружность, имеющая центр в верхней вершине малой оси эллипса и проходящая через его фокусы. Найти точки пересечения эллипса и окружности.


Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний, которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (), меньшая чем расстояние между фокусами () (Рис. 11).

Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы мы получим, если выберем прямую, соединяющую фокусы, за ось абсцисс и поместим начало координат в середине между ними. Тогда уравнение гиперболы примет вид:

, (21)

где

. (22)

Точки , , пересечения эллипса с осью называются вершинами гиперболы. Отрезок называется действительной осью гиперболы, отрезок называется мнимой осью гиперболы, параметры и , входящие уравнение (21), называются действительной и мнимой полуосями соответственно.

Гиперболы

и ,

называется сопряжёнными.

Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.

. (23)

Очевидно, что .

Гипербола (24) состоит из двух бесконечных ветвей (правой и левой). Расстояние точки гиперболы от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:

Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии, равном . Уравнения директрис:

, . (24)

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Задача 58. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что уравнения асимптот и расстояние между директрисами .

Решение. Каноническое уравнение гиперболы (21):

.

Для того чтобы найти параметры и составим систему.

Известно, что асимптоты гиперболы задаются уравнениями

.

Тогда из условия задачи получим первое уравнение системы:

.

Так как уравнения директрис (24):

, ,

то из условия задачи

.

Из равенств (22) и (23) следует, что

.

Тогда

.

Это второе уравнение системы.

Итак, получили систему

Её решение , .

Искомое уравнение гиперболы

.

Задача 59. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболе, если её эксцентриситет равен 2.

Решение. Из канонического уравнения данного эллипса известно, что

, .

По формуле (16) найдём :

.

По условию задачи фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса. Значит

.

Так как эксцентриситет гиперболы равен 2, то

.

Для нахождения воспользуемся равенством (22):

.

Следовательно, искомое уравнение гиперболы

.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-07-22 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: