Задачи для самостоятельного решения.

Глава 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Прямоугольная система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Прямоугольная система координат.

Прямая, на которой выбрано положительное направление называется осью.

Прямая, на которой выбрано направление, точка начало отсчёта и единичный отрезок, называется координатной осью (Рис. 1).

Рис. 1.

Координатой любой точки данной прямой (в установленной системе координат) называется число , если направление от начала координат к точке совпадает с положительным направлением оси, и , в противном случае. Обозначение

Две взаимно перпендикулярные координатные оси, с общим началом и равными единичными отрезками, называются прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК). Одна из осей (горизонтальная) называется осью абсцисс , вторая (вертикальная) осью ординат .

Плоскость, на которой введена ПДСК, называется координатной плоскостью.

Пусть произвольная точка плоскости, опустим из точки перпендикуляры на оси координат, получим точки и соответственно (Рис. 2).Пусть точка имеет координату на оси абсцисс, точка координату на оси ординат, тогда будем говорить, что точка имеет координаты , и обозначать

Прямоугольными декартовыми координатами точки плоскости называется упорядоченная пара действительных чисел и .

Расстояние между двумя точками.

Расстояние между точками и вычисляется по формуле:

. (1)

3. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть любая точка этого отрезка, отличная от точки (Рис. 3).

Число , определяемое равенством

, (2)

называется отношением, в котором точка делит отрезок .

Координаты точки по данному отношению и данным координатам точек и можно найти по формулам

, . (3)

В частности, при делении отрезка пополам, т. е. при , получаем формулы для нахождения координат середины отрезка:

, . (4)

Используя равенства (3) можно получить формулы для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника , если , , :

, .

Площадь треугольника.

Площадь треугольника с вершинами , , равна:

Выражение вида равно и называется определителем второго порядка.

Задача 1. Найти точку, удалённую на 13 единиц, как от точки , так и от оси .

Решение. Пусть искомая точка. Так как точка удалена от оси на 13 единиц, то её абсцисса или . Следовательно, получим две точки и . Найдём вторую координату.

По условию задачи, расстояние . По формуле (2) имеем,

Возведем в квадрат обе части равенств:

(невозможно).

Отсюда,

или .

Таким образом, получили две точки и .

Задача 2. Даны три вершины параллелограмма , , . Определить четвёртую вершину , противоположную .

Решение. Пусть точка пересечения диагоналей данного параллелограмма (Рис. 4) Тогда по свойству параллелограмма, она делит его диагонали пополам, т. е. и середина . Из (4)

Таким образом, точка . Аналогично, является серединой диагонали . Так как

, ,

то имеем,

, .

Итак, четвёртая вершина параллелограмма .

Задача 3. Даны вершины треугольника , , . Найти длину его медианы и биссектрисы (Рис.5).

Решение. Пусть медиана треугольника . Тогда из определения медианы следует, что точка середина отрезка . Вычислим координаты точки , используя формулы (4):

Итак, точка .

Найдём длину медианы по формуле расстояния между двумя точками (2):

Таким образом, длина медианы равна .

Пусть биссектриса внутреннего угла треугольника при вершине . Воспользуемся следующим свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону в отношении пропорциональном прилежащим сторонам, т. е.