Угол МТ1Т, как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен 
. Проведем МК||АВ и ME ┴ АВ. Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды — это расстояние ее от направляющей прямой.
Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу МТ1Т. Из треугольника ТМТ1 получаем:
МТ = 2а sin 
а из треугольника ТКМ:
КТ = МТ sin- .
Сопоставляя эти результаты и замечая, что КТ = h, получим окончательно:
h = 2a sin2
Мы выразили высоту точки М через угол между касательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаем направление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно:
где через k обозначена постоянная для данной циклоиды величина 
Полученный результат изложим в теореме.
Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикалью пропорционален корню квадратному из «высоты» точки М.
Этим свойством обладает, очевидно, любая циклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду: будет ли всякая кривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой? Можно доказать, что это будет именно так, — что верна и следующая (обратная) теорема:
Теорема 5. Если даны прямая АВ и точка М, то единственной кривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будет циклоида.
При этом радиус производящего круга этой циклоиды связан с коэффициентом k, о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:
|
(Разумеется, расстояние точки М от АВ должно быть меньше, чем 2а.)
Строгое доказательство этой теоремы средствами элементарной математики очень громоздко, и мы его приводить здесь не будем.
Семейство циклоид
Если в условии теоремы 5 не оговорить, что искомая кривая проходит через наперед указанную точку М, то получится не одна, а бесконечное множество циклоид, которые получаются друг из друга параллельным сдвигом по направлению прямой АВ (одна из них проходит через точку М, другая — через М1 третья — через М2 и т. д.). Это множество, или, как его называют, семейство циклоид изображено на рис. 22.
5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах
Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.
Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:
х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,
y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t
Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:
(0
≤ t ≤ 2π).
При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.
Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:
, где r – радиус окружности, образующей циклоиду.