Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически
и осью Ох.
Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:
Площадь криволинейного сектора.
Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].
Будем считать, что r и ϕ — полярные координаты точки. Тогда любому
ϕ0 ∈ [α, β] соответствует r0 = r(ϕ0) и, значит, точка M0(ϕ0, r0), где ϕ0,
r0 — полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную
уравнением r = r(ϕ).
Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных
координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
Справедлива следующая
Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь
криволинейного сектора вычисляется по формуле:
Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.
Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), и осью Ох, сводится к следующему решению.
Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,
Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды
Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.
Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f’(x) непрерывны на [a, b], то AB является спрямляемой и
Следствие. Пусть AB задана параметрически
LAB = 
(1)
Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда
формулу (1) можно записать так
Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= 
;
dx= x’(t)dt и, следовательно:
То есть:
А теперь вернемся к решении нашей задачи.
Решение. Имеем 
, а поэтому
= 8a
Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды
L={(x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}
В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t0 ≤t ≤t1)
|S|= 
Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:
Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды
Вдоль оси Ох.
В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле
Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.
Задача решена.
Заключение
Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, — тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.
Литература
1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980
2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5
3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.
4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. — Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.
5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969
[1] Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.