(выполнить в отдельной тетради и сдать в начале учебного года)
| Как подготовиться к олимпиаде по математике? Можно, конечно, порешать задачи конкретной олимпиады, запомнить их, в надежде встретить знакомый тип задач. Но можно совсем по-другому: понять самую суть задачи, построить цепочку рассуждений, ведущих к ответу и тем самым тренировать свои логические способности. Решать особый тип задач, "развивающих" логическое мышление. Именно такие задачи ждут вас в этом задании. Задачи подобрал для вас Любимов Лев Александрович и надеюсь, что никто из класса не придёт в 9-ый класс без выполненного задания. | ||
 Решайте, размышляйте,  И помните слова математика Дж. Пойа. Он сказал: "Решение задач - практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепьяно; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь."
| ||
| Задача 1. Сколько было рукопожатий? | ||
| На совещание явилось 10 человек, и все они обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий? | ||
| Задача 2. Сколько страниц в учебнике? | ||
| Для нумерации страниц в учебнике понадобилось 534 цифры. Сколько страниц в учебнике? | ||
| Задача 3. Расставить вдоль сторон цифры | ||
| Расставить вдоль сторон треугольника цифры 1, 2, 3,..., 9 так, чтобы сумма цифр вдоль каждой стороны равнялась 20-ти. Цифра, стоящая в вершине треугольника, принадлежит каждой из сторон, выходящих из этой вершины. | ||
| Задача 4. Сколько страниц выпало из книги? | ||
 Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы - 143.
Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке.
Сколько страниц выпало из книги?
| ||
| Задача 5. Сколько человек работало на заводе? | ||
| В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года? | ||
| Задача 6. Сколько процентов составляет возраст сестры? | ||
| Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата? | ||
| Задача 7. Как изменилась масса арбуза? | ||
| Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза? | ||
| Задача 8. Сколько времени потребовалось второму путнику? | ||
| Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А? | ||
| Задача 9. Вышел из срока | ||
| Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку ученик должен был читать ежедневно по 40 страниц.Однако он читал каждый день на 15 страниц меньше и вернул книгу на 6 дней позже срока. За сколько дней ученик должен был прочитать книгу? | ||
| Задача 10. Когда сравняются возраста? | ||
| Матери 47 лет, троим ее сыновьям соответственно 10,12, и 15 лет. Как скоро сумма возрастов сыновей сравняется с возрастом матери? | ||
| Задача 11. Сумма и произведение одних и тех чисел - одинаковые | ||
| Представить число 203 в виде суммы нескольких положительных чисел так, чтобы их произведение также было бы равно 203. | ||
| Задача 12. Найти последние цифры. | ||
| Найти три последние цифры произведения: 1· 2 · 3 · 4 ·... · 17 · 18 | ||
| Задача 13. Считаем книги на полках | ||
| На трех полках стоят книги. На нижней полке в два раза меньше книг, чем на остальных двух, на средней - втрое меньше, чем на остальных, на верхней - 30 книг. Сколько всего книг на трех полках? | ||
| Задача 14. Что я выпил в итоге - кофе с молоком или молоко с кофе? | ||
| От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе? | ||
| Задача 15. Всегда ли нужен измерительный прибор? | ||
| Как от куска материи 2/3 метра отрезать 50 сантиметров, не имея мерительного прибора? | ||
| Задача 16. Каков средний рост пяти друзей? | ||
| Средний рост шести друзей - 1,2 м. Рост самого низкого из них - 1,1 м. Каков средний рост остальных пяти? | ||
| Задача 17. Каков рост нового игрока команды? | ||
| Средний рост пяти игроков баскетбольной команды - 2,04 м.После замены игрока, рост которого равен среднему, средний рост команды увеличился до до 2,08 м. Каков рост нового игрока? | ||
| Задача 18. Как изменится средняя масса 5 арбузов? | ||
| Как изменится средняя масса пяти арбузов, если взамен арбуза, масса которого на 5 кг меньше средней, добавить арбуз массой, превышающей среднюю на 10 кг? | ||
| Задача 19. Один мальчик и одна девочка ответили правильно | ||
| Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу. (A)1; (B) 2; (C) 3; (D) 9; (E) 15; | ||
| Задача 20. Сколько серых мышей у Йозефа?. | ||
| У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.Сколько серых мышей у Йозефа? (A) 1; (B) 49; (C) 50; (D) 99; (E) невозможно определить | ||
| Задача 21. Кто сидит рядом с мамой Мари? | ||
| На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари? (A) Мари; (B) бабушка; (C) Мари и бабушка; (D)Мари и кукла; (E) бабушка и кукла. | ||
| Задача 22. Что вырастет у рассеянной хозяйки? | ||
| У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы","Цветы" и "Ромашки". Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"? (A) огурцы; (B) колокольчики; (C) ромашки; (D) нельзя определить; (E) арбузы. | ||
| Задача 23. Кто ближе к сыру: кошка или мышка? | ||
| Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильке. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно: (A) кошка в комнате; (B) мышка в норке; (C) кошка в комнате или мышка в норке; (D) кошка в подвале, а мышка в комнате. | ||
| Задача 24. Сколько существует натуральных чисел? | ||
 Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся одновременно на 2 и на 3? б) делятся на 2, но не делятся на 3? в) делятся на 3, но не делятся на 2? г) делятся на 3, или на 2 (по крайней мере на одно из этих двух чисел)? д) не делятся ни на 2, ни на 3?
| ||
| Задача 25. Какая монета тяжелее? | ||
| Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определить, легче она или тяжелее? | ||
| Задача 26. Лидер оппозиции и логика | ||
| В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как это он понял? | ||
| Задача 27. | ||
| Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел, начиная с 3, число составное. | ||
| Задача 28.. Кто самый младший? | ||
 Три мальчика А, В и С выступали на школьном вечере. Из следующих ниже утверждений одно - ложное:
| ||
| Задача 29. Кто угнал машину? | ||
| ||
| Задача 30. Ищем след от плоскости | ||
| Задача 31. Делим квадрат на три части | ||
| MNPQ - квадрат со стороной 6 см, А и В - две точки на его средней линии. Ломанные МАР и МВР делят квадрат на 3 части одинаковой площади. Чему равна длина АВ? (A) 3,6см; (B) 3,8см; (C) 4см; (D) 4,2см; (E) 4,4см | ||
| Задача 32. Ремонт водителям не помеха | ||
| На участке дороги идет ремонт. Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром. На сколько километров увеличивает путь этот объезд? (A)3 км; (B) 5 км; (C) 6 км; (D) 10 км; (E)Невозможно определить | ||
| ||
| Задача 33. Поразмыслим над бумажным кубиком | ||
| На каждой грани бумажного кубика написана цифра 1, 2 или 3, причем цифры на противоположных гранях - одинаковые. Какая из фигурок может получиться. если этот кубик разрезать по некоторым ребрам и развернуть? | ||
| Задача 34. Где домик Пятачка? | ||
| Домик Кролика нарисован 4 раза, а домик Пятачка только один раз. Где домик Пятачка? | ||
| ||
| Задача 35. Ищем развертку кубика | ||
  От кубика, склееного из бумаги, отрезали уголок. Этот кубик разрезали по некоторым ребрам, развернули и получили одну из фигурок A - E. Какую?
| ||
| ||
| Задача 36. Фигурка из двух одинаковых деталей | ||
 Какую из фигурок A - E нельзя составить из двух одинаковых деталей, изображенных справа? Детали нельзя переворачивать тыльной стороной вверх.
| ||
| ||
| Задача 37. Какие карточки одинаковые? | ||
| Среди этих пяти карточек есть три одинаковых. Какие? (A)1,2 и 3; (B) 2,3 и 5; (C) 1, 3 и 4; (D) 2, 4 и 5; (E)3, 4 и 5; | ||
|
Полиции было известно, что один из них - лжец, один - всегда говорит правду, а про третьего точно неизвестно, говорит ли он правду или ложь. Полиция также знала, что один из них угнал машину, и что этот человек всегда говорит правду. Три человека сказали следующее:
