Фрагмент онлайн курса для обучающихся 10-11 классов
«Планиметрия: виды задач и методы их решения»
Тема: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике», 2 часа
Цель освоения содержания: повторить свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.
Планируемые результаты:
· правильно находит пропорциональные отрезки на чертеже;
· читает математическую запись, используя понятие «среднее пропорциональное»;
· формулирует и доказывает свойства пропорциональных отрезков;
· применяет теоремы для решения задач.
Основные понятия: прямоугольный треугольник и его элементы (катеты, гипотенуза, высота, проведённая к гипотенузе, острые углы),проекция катета на гипотенузу, среднее пропорциональное двух отрезков, подобные треугольники.
1. Решение некоторых задач на поиск элементов в прямоугольном треугольнике можно упростить, если использовать свойства пропорциональных отрезков. Они сформулированы в «ключевой задаче».
Ключевая задача. В прямоугольном треугольнике 
, в котором ⦟ 
, 
– высота, имеют место следующие соотношения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
= 
Попробуй самостоятельно доказать приведённые утверждения, а если возникнут сложности, найди доказательство в видеоролике и оформи его в тетрадь. https://resh.edu.ru/subject/lesson/3035/main/
2. Потренируйся в воспроизведении этих теорем на реальных задачах, выполняя задания 1-5 по ссылке: https://resh.edu.ru/subject/lesson/3035/train/#185087
3. Теперь разберёмся, как с помощью свойств пропорциональных отрезков решаются более сложные задачи из открытого банка ФИПИ. Если потребуется, можешь посмотреть разбор в моём видеоролике https://youtu.be/_hIGk-fXK-0
| № | Текст задачи | Тайм-код |
| Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит её на отрезки 24 и 54. Найдите катеты. | 03:29 | |
| Один катет прямоугольного треугольника равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу – 5. Найдите гипотенузу. | 05:48 | |
| Определите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она поделила гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 20 см. | 07:06 | |
| Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. | 07:50 | |
| Определить площадь равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 26, диагонали которой перпендикулярны боковым сторонам. | 12:47 | |
| Определите высоту равнобедренной трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25. | 15:59 | |
| В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия 16 и большее основание является диаметром окружности. Определите площадь трапеции. | 18:22 | |
ЕГЭ- 2018 (основная волна). В трапеции  с основаниями  и  углы  и  прямые. а) Докажите, что  ; б) Найдите AD, если AB=2,  .
| 22:25 |
4. Попробуй выполнить задания для самостоятельного решения. Они очень похожи на те, что мы уже разобрали, и ты, скорее всего, справишься без проблем. Если будут вопросы, можешь задать их, написав сообщение в ВК или Сетевом городе.
Условия задач прочитай в Google-форме, там же запиши ответы.
https://forms.gle/Et3RjsS8uTbur9Bd9 (эту ссылку скопируй в адресную строку браузера или воспользуйся QR-кодом).
5. Для тех, кто хочет научиться решать и оформлять задание по планиметрии из второй части ЕГЭ, предлагаю дополнительно решить задачу реального экзамена 2018 года (за это задание будет поставлена оценка). Решение на проверку оформи в текстовом документе, воспользуйся для набора математического текста встроенным редактором формул, а чертёж к задаче выполни в GeoGebra (https://www.geogebra.org/geometry).
Задача: Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 34. Определите основание трапеции.
6. Оценка за занятие будет выставлена по результатам проверки ответов в Google-форме и дополнительно оценки получат те, кто пришлет на проверку решение задачи из предыдущего пункта.
Желаем успеха!