Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников




Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

По математике 2018-2019 год

Класс

1. Расставьте скобки в выражении 1: 3 + 4: 2: 7 = 2 так, чтобы получилось верное равенство.

2. Разрежьте по клеткам квадрат 7 клеток на 7 клеток на 5 неравных прямоугольников так, что из этих пяти прямоугольников и одной отдельной добавленной клетки можно составить три неравных квадрата.

3. В автобусе все пассажиры – мужчины и женщины – сидят парами. Известно, что ровно 2/5 мужчин сидят с женщинами, и ровно 2/3 женщин сидят с женщинами. Какую часть пассажиров составляют мужчины?

4. В круговом турнире команд кёрлингистов каждая из семи команд-участников сыграла с каждой другой командой по одному разу. За победу команда-участник турнира получает одно очко, за поражение – ноль очков, а ничьих не бывает. Известно, что две команды разделили первое место, набрав одинаковое число очков, причём команда, занявшая третье место, набрала очков меньше, чем победители, но больше, чем каждая из команд, занявших места с четвёртого по седьмое, а команда, занявшее последнее место, набрала не более одного очка. Сколько очков набрала команда, занявшая третье место? Ответ подтвердите примером таблицы турнира.

5. Известно, что числа a, b, c – простые, и их разности – (a - b), (b - c), (a - c) – также простые числа. Найдите все возможные значения суммы a + b + c.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

По математике 2018-2019 год

Класс

1. В таблице 5 строк и 4 столбца. В 20 клеток таблицы записаны по одному разу натуральные числа от 1 до 20. Могло ли оказаться, что сумма чисел в каждой строке меньше, чем сумма чисел в каждом столбце?

2. В турнире по матбоксу участвовали шесть человек: Ахов, Боксин, Васин, Гришин, Шахов и Матов. Каждый участник встретился с каждым ровно один раз. За победу дают 2 очка, за ничью – 1 очко, а за поражение очков не дают. В итоге больше всех очков набрал Матов. Но после того, как за употребление допинга был дисквалифицирован Боксин, и результаты встреч с его участием были аннулированы, оказалось, что единоличным победителем турнира оказался Шахов. Боксин сказал, что если бы дисквалифицировали не его, а Матова, то он – Боксин – стал бы единоличным победителем турнира. Могло ли это быть правдой? Ответ обоснуйте.

3. В треугольнике ABC проведена медиана BM так, что ВМ = АВ /2 и Ð АВМ = 50°. Найдите угол ABC.

4. Докажите, что если a + b + c = 1 и a = bc, то 5 aa 2b + c.

5. Найдётся ли такое натуральное число n, которое делится нацело на каждое из чисел 1, 2, 3, …, 2018, кроме каких-то двух, разность которых равна 7?

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

По математике 2018-2019 год

Класс

1. Числа a, b и c связаны соотношениями а (а – 1) + 2 bc = b (b – 1) + 2 ca = c (c – 1) + 2 ab. Найдите все возможные значения суммы S = a 2 + b 2 + c 2abbcca. Ответ обоснуйте.

2. На листе бумаги записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40. Тоша и Сима по очереди (начинает Тоша) зачёркивают по одному числу. После того, как на бумаге останутся не зачёркнутыми два числа, подсчитывается сумма этих двух чисел. Если эта сумма делится на 3, то выигравшим считается Тоша, а если не делится, то Сима. Кто выигрывает при правильной стратегии каждого из игроков?

3. В турнире по матбоксу участвовали шесть человек: Ахов, Боксин, Васин, Гришин, Шахов и Матов. Каждый участник встретился с каждым ровно один раз. За победу дают 2 очка, за ничью – 1 очко, а за поражение очков не дают. В итоге больше всех очков набрал Матов. Но после того, как за употребление допинга был дисквалифицирован Боксин, и результаты встреч с его участием были аннулированы, оказалось, что больше всех очков набрал Шахов. Боксин сказал, что если бы дисквалифицировали не его, а Шахова, то он – Боксин – набрал бы больше всех очков. Могло ли это быть правдой? Ответ обоснуйте.

4. В треугольнике КМТ стороны КМ и МТ равны. На стороне МТ отмечена точка А так, что отрезок АТ равен высоте КН треугольника КМТ. Через точку А перпендикулярно к МТ проведена прямая, которая пересекает сторону КМ в точке В. Найдите величину угла КТВ. Ответ обоснуйте.

5. Докажите, что при любых положительных числах a, b, c, сумма квадратов которых равна трём.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

По математике 2018-2019 год

Класс

1. Найдутся ли три различных целых числа, одно из которых равно разности двух оставшихся, а другое равно частному двух оставшихся?

2. На листе бумаги записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40. Тоша и Сима по очереди (начинает Тоша) зачёркивают по одному числу. После того, как на бумаге останутся не зачёркнутыми два числа, подсчитывается сумма этих двух чисел. Если эта сумма делится на 3, то выигравшим считается Тоша, а если не делится, то Сима. Кто выигрывает при правильной стратегии каждого из игроков?

3. Комплект из 36 шариков по 9 белого, желтого, красного и черного цветов разложили в шесть ящиков так, что в никаких двух ящиках нет четырех шариков всех цветов. Докажите, что тогда есть ящик, в котором все шарики одного цвета, или есть цвет, шарики которого есть во всех ящиках.

4.. a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите неравенство

(a2+2bc)/(b2+c2) + (b2+2ac)/(c2+a2) + (c2+2ab)/(a2+b2) > 3.

5. В остроугольном треугольнике PQR проведены медиана QA и высота PC. Точки В и D – основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A и С на сторону PQ. Оказалось, что длина отрезка PQ ровно в четыре раза больше длины отрезка ВD. Докажите, что в треугольнике PQR угол R вдвое больше угла Q.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников

По математике 2018-2019 год

Класс

1. Каждые три из семи данных на одной плоскости прямых l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6, l 7 не проходят через одну точку. Могло ли оказаться, что эти семь прямых имеют ровно 16 различных точек пересечения?

2. На листе бумаги записаны числа 1, 3, 5, 7, 9, 10, 15, 30, 60, 100, 300, 1000, 3000. Тоша и Сима по очереди (начинает Тоша) зачёркивают по одному числу. После того, как на бумаге останутся не зачёркнутыми три числа, подсчитывается сумма этих трёх чисел. Если эта сумма не делится на 3, то выигравшим считается Тоша, а если делится, то Сима. Кто выигрывает при правильной стратегии каждого из игроков?

3. Известно, что числа a, b, c – простые, и их разности – (a - b), (b - c), (a - c) – также простые числа. Найдите все возможные значения суммы a + b + c.

4. Через точку М внутри квадрата PQRT проведены прямые, параллельные сторонам квадрата. Эти прямые пересекают стороны квадрата PQ, QR, RT, TP в точках соответственно A, B, C, D. Оказалось, что угол ВРС равен 450. Докажите, что площадь прямоугольника PAMD вдвое меньше площади прямоугольника MBRC.

5. Докажите, что при любых положительных чисел a, b, c, сумма квадратов которых равна трём.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-01-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: