Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины Х.




По характеру зависимости от измеряемой величины погрешности можно разделить на аддитивные (не зависящие от Х, лат. additivus - придаточный,

получаемый путем сложения) и мультипликативные (зависящие от Х, лат. multiplicatio - умножение).

 


- Если абсолютная погрешность измерительного прибора не зависит от измеряемой величины, то предел допускаемой основной погрешности может быть выражен одним числом

Такая погрешность называется аддитивной.

Примером может служить погрешность, связанная с неточной установкой нуля стрелочного прибора. Аддитивная погрешность постоянна во всем диапазоне измерений, в том числе и при Х=0, поэтому ее часто называют " погрешностью нуля ".

 

- Если погрешность прибора зависит от измеряемой величины, предел допускаемой погрешности выражается формулой

 

= vari (26)

где b - постоянная величина (для линейной погрешности и переменная величина при нелинейном характере погрешности); - предельное значение мультипликативной погрешности; a - это предельное значение аддитивной погрешности.

Таким образом, мультипликативная погрешность прямо пропорциональна значению Х. (см.рис.9).

 


Рис.9

 

Примером мультипликативной погрешности может быть изменение коэффициента усиления канала прямого преобразования СИ в следствии нелинейности ВАХ усилительных элементов (транзистора - насыщения) или нагрузки, или старения элементов усилителя со временем, или изменения напряжения питания и т.п.

 

Нормирование погрешности прибора.

Приведенная (нормированная) аддитивная погрешность может быть записана в виде

(27)

 

Приведенную (относительную) мультипликативную погрешность (с учетом и аддитивной погрешности) можно записать в общем виде где - положительные постоянные величины,

- конечное значение диапазона измерений.

Если:

1)

2)

3) (29)

4) (30)

 

 

Пример: Универсальный мост Е7-4 имеет основную относительную

погрешность при измерении (в %):

- сопротивления на частоте 100Гц,

0,1 106 0Гц,

- емкости С[nФ]

10 102 1000Гц,

 

 

- индуктивности L[мкГ]

 

102 106 1000Гц,

- добротности Q

1 30 1000Гц,

100Гц.

Поведение аддитивных и мультипликативных погрешностей с изменением измеряемой величины и их влияние на характеристику преобразования показано на рис.10


Рис.10

Формулы вида (27) и (28) используют при нормировании погрешностей средств измерения. Погрешности средств измерений при нормировании округляют до двух значащих цифр и выбирают равными ближайшему числу из следующего ряда: 1×10n; 1,5×10n; 2×10n; 2,5×10n; 4×10n; 5×10n; 6×10n (n=1,0,-1,-2…).

 

В зависимости от величины пределов допускаемых основных и дополнительных погрешностей, в соответствии с ГОСТ 8.401 - 80, устанавливаются классы точности средств измерения.

Разработаны условные обозначения классов точности, которые применяются в документации, а также наносятся на шкалы средств измерения.

 

Класс точности совпадает со значением:

 

1. предельной (допускаемой) основной погрешности, выражаемой в процентах и округленной до ближайшего числа из указанного выше ряда.

2. относительной.

3. абсолютной.

 

Пример: обозначения классов точности Таблица 6.

  Форма выражения основной погрешности Расчет допускаемой основной погрешности по формуле Пределы допускаемой основной погрешности % Обозначение класса точности на шкале прибора
  в доку-ментации на приборе
Приведенная основная погрешность (предельная) для СИ с равномерной шкалой- нормирование по пределу шкалы     для СИ с неравномерной шкалой и нормирование производится по длине шкалы. Примеры:   %     %   Класс точности 1,5     Класс точности 0,5   В правой половине шкалы (как правило) 1,5     0,5    
Относительная основная погрешность   %     % Класс точности 0,5 Класс точности 0,02/0,01   0,5     0,02/0,01    
Абсолютная основная погрешность или по более сложной формуле Пример1, 2 (см. после таблицы 6). Класс точности М М  
                     

 

Пример1. Пусть стрелочный (аналоговый) вольтметр имеет шкалу 0 300В, его класс точности 1,0.

1) С какой абсолютной погрешностью можно измерить на этом приборе напряжение 220В?

а) Обозначение 1,0 означает основная приведенная предельная погрешность %

б) Предельная приведенная погрешность (по формуле (27))

%. Отсюда абсолютная погрешность

в) Результат измерения

2) Какова относительная погрешность, если измерять 10В? 150?

 

Пример2. Цифровой вольтметр с классом точности 0,02/0,01 используется для измерения напряжения 220В на диапазоне (точнее ). Какова абсолютная погрешность измерения?

Основная относительная погрешность на этом диапазоне (согласно формуле (28))

Вывод: на цифровых вольтметрах измерение выполняется с большей точностью.

 

3.3. Характеристики случайных погрешностей.

 

Составляющая погрешности измерения (см.(24)), изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины, называется погрешностью измерения. Случайная погрешность определяется (обуславливается, вызывается) факторами, проявляющимися нерегулярно с изменяющейся интенсивностью. (Например, воздействие помех и т.п.) значение случайной составляющей погрешности измерения невозможно предвидеть и, следовательно, исключить. Влияние случайной погрешности уменьшают применением многократных измерении с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методами теории вероятностей. Познакомимся с основными положениями этого метода. Таким образом, из-за влияния многочисленных и принципиально неустранимых факторов, обуславливающих случайные погрешности, результат каждого измерения будет отличаться от истинного значения Х измеряемой величины:

(31)

 

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения.

Истинное значение Х нам не известно. Однако, проведя большое количество измерений исследуемой величины Х, можно выявить следующие статистические закономерности (постулаты).

1. Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое (среднее) значение, то положительные и отрицательные отклонения отдельных результатов измерений от среднего значения имеют приблизительно равную вероятность. Это является причиной того, что имеется равная вероятность (частота) отклонения результатов измерения от истинного значения величины в сторону уменьшения и увеличения (в том случае, когда систематическая погрешность равна нулю). Среднее арифметическое значение, вычисленное на основании ряда измерений, является наиболее достоверным значением, которое можно приписать измеряемой величине. При вычислении среднего арифметического значения большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

2. Вероятность (частота) появления больших отклонений от полученного результата значительно меньше вероятности (частоты) появления малых отклонений. Эти статистические закономерности справедливы лишь при многократном повторении измерений (). После обработки результатов измерений, получается не абсолютно достоверный, а наиболее вероятный результат и этим результатом будет среднее арифметическое значение ряда измерений (в дальнейшем эту величину будем называть также математическим ожиданием результатов измерений).

(32)

где n- число измерений. Тогда .

Указанные статистические закономерности большого числа измерений позволяют поставить вопрос о законе, по которому происходит распределение случайных погрешностей . В практике электрорадиоизмерений наиболее распространенным законом распределения погрешностей является гауссовский закон (закон Гаусса) или нормальный закон распределения. Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике объясняется центральной предельной теоремой, которая утверждает, что рассмотрение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с одинарным действием всех остальных.

Аналитически он описывается выражением

, (33)

где - плотность вероятности случайной погрешности -параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х (в дальнейшем так же будем называть средним квадратическим или стандартным значением).

По своему смыслу плотность вероятности равна отношению вероятности (частоты) попадания случайной величины внутрь интервала к длине этого интервала в предположении, что последняя стремится к нулю.

Величину называют средним квадратическим отклонением случайной погрешности измерения и определяют из соотношения

(34)

где - численный результат отдельного измерения, а - число измерений.

Характер кривых, описываемых (33) показан на рис.11 для четырех значений . Эта функция графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно оси ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс при . Максимум этой кривой получается в точке , а величина этого максимума


(35)

Рис.11.

 

0,4 0,4 0,6 0,8 0,14 1,2 0,01
0,5 0,5 0,49 1,0 0,11 1,5 0,0089
1,0 1,0 0,24 2,0 0,05 3,0 0,0045
2,0 2,0 0,12 4,0 0,03 6,0 0,0022

 

Как видно из рисунка, чем меньше , тем уже кривая и, следовательно, тем реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

 

Вероятность появления погрешности в пределах между (квантилями) и определяется площадью заштрихованного участка на рис.12, т.е. определенным интервалом от функции

(35)


Рис.12

 

Эта функция получила название интегральной функции распределения.

В общем виде (36)

Вероятность того, что погрешность любой величины и знака попадает в интервал абсолютно достоверна, т.е. равна 1 (т.к. , событие состоялось , событие не состоялось ). Или в процентах .

Интеграл (35) подстановкой

сводится к виду

(37)

Интеграл (37) часто называют интегральной функцией ошибок или нормальным интегралом ошибок. Интеграл табулирован (представлен в таблице во многих справочниках, например, Бронштейн И.Н., Сомякуяев К.А. Справочник по математике, стр.81 1954г.).

 

 

На рис.13 его значения представлены графически

 


Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы , с вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах , т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую . Это свойство нормального закона распределения называется законом трех сигм.

Считается, что появление погрешности равной маловероятной, если число измерений превышает несколько десятков. Поэтому погрешность считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности больше считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются (исключаются).

Соотношения (33) и (34) выведены из условия, что число измерений (одной и той же величины) . На практике число измерений конечно, и это приводит к необходимости введения поправок, роль которых снижается при увеличении числа измерений, так как (среднее арифметическое значение ряда измерений) и (истинное значение величины) все более сближаются и в пределе (при большом числе измерений) становятся равными.

Если вместо ввести и вместо ввести , то, как доказывается в математической статистике формула (34) принимает вид

(38)

для 50<n< для10 <n 20

 

Данным соотношением можно пользоваться при n. .

Степень случайного разброса среднего арифметического значения ряда измерений от истинного значения при конечном числе измерений характеризуется средней квадратической погрешностью среднего арифметического ряда измерений , которое равно

, (39)

где - абсолютная погрешность единичного ряда n- измерений,

- средняя квадратическая погрешность единичного ряда измерений,

- число измерений в одном ряде измерений.

 

Серия k измерений одной


n той же величины

_____________

средние арифметические значения серий измерений


(каждого ряда измерений)

; ; ;

стандартное отклоне- среднее арифмети- стандартное отклонение

ние единичного ряда ческое значение средних арифметических

измерений. среднеарифметичес- значений серии измерений.

ких значений серии.

 

 


 

Если бы производили К серий измерений одной и той же величины по n измерений в каждом ряду, то полученные средние арифметические значения имели бы некоторый разброс относительно среднего значения этих средних арифметических величин. При этом показано в теории погрешностей, что этот разброс в раз меньше отклонений отдельных измерений от среднего арифметического единичного ряда измерений, т.е.

.

На практике (при малом числе измерений n) для оценки точности и надежности полученных результатов вводятся понятия доверительной вероятности и доверительного интервала.

 

Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называется доверительным интервалом, а характеризующая его вероятность - доверительной вероятностью.

При гауссовском законе распределения по таблице интеграла вероятности можно определить значения доверительных интервалов, При увеличении доверительных интервалов значение доверительной вероятности возрастает, стремясь к своему пределу, равному единице, Как уже отмечалось, для интервала значение вероятности составления 0,9973. С введением новых понятий это можно интерпретировать так, для доверительного интервала от доверительная вероятность равна 0,9973. (при ).

Соответственно для интервала от доверительная вероятность равна 0,954.

Определение доверительных интервалов с использованием соотношений (33) и (37) справедливо лишь при числе измерений n>20…30.

На практике приходится оценивать погрешности по результатам сравнительно небольшого количества измерений. Применение формулы (37) в этом случае дает заниженное значение доверительного интервала, т.е. оценка точности измерения оказывается неоправданно завышенной. В этом случае уточнять доверительный интервал можно с помощью коэффициентов Стьюдента , которые зависят от задаваемой доверительной вероятности и числа измерений .

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность среднеарифметического ряда измерений надо умножить на коэффициент Стьюдента (квантиль).

Окончательный результат измерений можно записать так:

, (40)

- доверительный интервал с поправкой на малое число измерений.

Таким образом последовательность статистической обработки результатов измерений при малом числе измерений (n<20):

1. получено n измерений одной величины

2. определяется среднее арифметическое этого ряда

3. вычисляются абсолютные погрешности каждого измерения

4. определяется "среднеквадратическое средних арифметических значений" (хотя и не производятся серии повторных измерений)

Поправки, обусловленные малым количеством малым количеством ряда измерений и заменой истинного значения Х на мат. ожидание .

5. определяется коэффициент Стьюдента для заданного числа измерений, например n=8 и доверительной вероятности, например P=0,95

 

Таблица 7.

  n
0,50 0,80 0,95 0,98 0,99  
. . . . . 1,00   0,71     0,68 0,67 3,08   1,40     1,31 1,28   12,71   2,31     2,04 1,96 31,82   2,90     2,46 2,33 63,66   3,35     2,75 2,58      

 

6. записывается результат измерения физической величины.

, для 10<n<20

Результат запишется через доверительный интервал

, если 50<n<

7. измеряется ряд значений следующей физической величины и повторяется статистическая обработка этого ряда измерений (п.1 п.6)

 

 

3.4. Суммирование погрешностей прямых измерений.

 

Суммирование систематических погрешностей .

Погрешность измерительного прибора зависит от погрешностей его отдельных узлов.

Систематические погрешности суммируют алгебраически с учетом собственных знаков (если они известны)

(41)

Если знаки систематических погрешностей (хотя бы некоторых) отдельных узлов неизвестны, то суммируют по квадратичному закону

(42)

Суммирование случайных погрешностей .

Случайные погрешности суммируют с учетом их корреляционных связей. Если имеются две случайные величины, характеризуемые средними квадратическими оценками , то суммарную погрешность можно определить по форме, которую дает теория вероятностей

(43)

 

Коэффициент корреляции r характеризует вероятную связь между случайными величинами. На практике обычно информация (точная, численная, количественная) о степени корреляционной связи отсутствует и формулу (43) используют при следующих крайних случаях:

r=0 (корреляция отсутствует)

(44)

r= 1 (существует жесткая связь)

(45)

 

Сложение осуществляется в том случае, когда случайный влияющий фактор вызывает в двух узлах прибора изменение погрешностей в одном направлении, а вычитание, когда изменение погрешностей происходит в противоположных направлениях.

 

 

3.5. Погрешности косвенных измерений.

 

 

При косвенных измерениях значение искомой измеряемой величины вычисляют по результатам прямых измерений других величин, связанных с искомой величиной определенной функциональной зависимостью.

Пусть, например, имеется дифференцируемая функция в неявной форме или в виде суммы

X=f(y,z,…t), (46)

где X - искомая величина, y,z,…t - искомые величины.

Вычисление систематической погрешности.

Допустим, что величины y,z,…t измерены с систематическими погрешностями .

Абсолютная систематическая погрешность определения величины Х определяется по соотношению

(47)

где - частные производные функции (46) по переменным y,z,…t называются коэффициентами влияния.

Суммарная средняя квадратическая случайная погрешность определяется формулой (при отсутствии корреляции между y,z,…t).

(48)

 

Если функция y=f(y,z,…t) выражается в виде произведения

 

3.6. Правила проверки согласия опытного распределения случайной величины с теоретическим.

До сих пор мы считали, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, и в соответствии с этим строили методы обработки результатов.

Как отмечалось, хотя в большинстве случает измерения физических величин предположение о нормальности оправдано, бывает необходимо проверить, а так ли это в данной конкретной ситуации.

Это можно выполнить путем построения так называемой гистограммы. Анализ ее формы позволяет выдвинуть гипотезу о предполагаемой закономерности распределения случайной величины. Степень соответствия между выдвинутой гипотезой и результатами наблюдений устанавливается с помощью критерия согласия.

Остановимся более подробно на методике построения гистограммы - графического представления распределения результатов измерения (их случайных отклонений).

Гистограмма - это график распределения результатов ограниченного количества измерений (n>30…50) одной и той же величины.

Графическое представление результатов большого числа измерений (n ) - это кривая предельной функции распределения (например, нормального закона Гаусса, равномерный закон, треугольный закон распределения Симпсона, закон Релея и т.д.).

Допустим, произведено n-число (n>30) измерений одной и той же величины одним и тем же оператором, на одном и том же оборудовании и в одних и тех же условиях (такие измерения называются равноточными).

а). Эти значения случайных величин


б). Этот вариационный ряд значений располагают в порядке возрастания величины слева направо

 

в). Весь диапазон полученных результатов измерений разделяют на r интервалов ("бинов") шириной

Ширина равномерных интервалов равна

(51)

 

Определим границы интервалов

 

Число интервалов r определяется числом измерений n и может быть выбрана на основании таблицы рекомендованной ВНИИМ

 

Таблица 8

n r
< 30 30 - 100 100 - 500 500 - 1000 1000 - 10000 5 - 8 7 - 9 8 - 12 10 - 16 12 - 22

 

 

Следует соблюдать некоторую осторожность при выборе ширины бинов для гистограммы. Если бины выбраны слишком широкими, то все (или почти все) отсчеты попадут в один бин и гистограмма выродится в малоинтересный единственный прямоугольник. Если же бины выбраны слишком узкими, то лишь небольшое их число будет содержать более чем один отсчет и сама гистограмма будет состоять из большого числа узких прямоугольников, почти одинаковой высоты. Если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов измерений следует выбирать более узкие интервалы, бины.

Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.

г). Подсчитывают частоты , равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы

Отношение , (52)

где n - общее число наблюдений называется частостями (частость) ипредставляют собойстатистические оценки вероятностей попадания результата измерения в i-й интервал. Распределение частостей по интервалам образуют статистическое распределение результатов измерений.

д). Если теперь разделить частость на длину интервала, то получим величины (53)

 

являющиеся оценками средней плотности распределения в интервале .

е) Отложим вдоль оси (абсцисс) интервалы в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построим прямоугольник с высотой равной . Полученный график называется гистограммой статистического распределения.

 

Сумма площадей всех прямоугольников равна единице:

Пример: Было выполнено 100 измерений среднего диаметра резьбового калибра. Результаты измерений лежат в диапазоне 8,911 - 8,927 мм, т.е. ширина зоны распределения результатов составляет 0,016 мм. Весь диапазон удобно разделить на восемь равных интервалов (бинов) через 0,002 мм. В таблице приведены частоты частности и плотности статистического распределения

Таблица 9

I
  8,911 8,913 8,915 8,917 8,919 8,921 8,923 8,925 8,913 8,915 8,917 8,919 8,921 8,923 8,925 8,927   0,01 0,05 0,14 0,27 0,24 0,18 0,09 0,02  

 

Математическое окружение результатов измерения =8,91936 мм,

Стандартное отклонение мм

Уравнение кривой нормального распределения


 

(54)

 

При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить, а сами интервалы уменьшить, тогда гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь - к графику плотность распределения результатов наблюдений описываемой формулой (33). Параметры могут быть вычислены по формулам (39) и (32).

Пример построения гистограммы дан на рис.14.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-01-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: