ТЕМА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Классическое определение вероятности. Независимость случайных событий. Статистическое определение вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайная величина и ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины: их свойства, правила вычисления.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Случайным событием, возможным событием или просто событием называется любой факт, который может произойти или не произойти в результате испытания, т.е. выполнения определенного комплекса условий. Приведем примеры событий:

1. Появление герба при подбрасывании монеты.

2. Выигрыш автомобиля в денежно-вещевой лотерее.

3. Превышение температуры воздуха сверх 30°С в данной местности в первый день лета.

Событие – это не какое-либо происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания. Обратите внимание на виды событий:

Несовместные и совместные, равновозможные и единственно возможные, невозможные и достоверные. События образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Вероятность события представляет собой численную меру степени объективной возможности наступления этого события.

Согласно классическому определению вероятность события А есть отношение числа m случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев n, т.е. . Например, вероятность события А – выпадение четного числа очков при бросании игральной кости – равна так как из общего числа n =6 случаев (исходов) событию А благоприятствует

m =3 случая – выпадение 2, 4 и 6 очков.

В ероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в п произведенных испытаниях, т.е. , где m – число испытаний, в которых появилось событие А.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, т.е.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно). Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное (т.е., если ее значения можно перенумеровать натуральными числами). Если случайная величина сплошь заполняет некоторый интервал числовой оси, она называется непрерывной.

Важнейшими числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.

Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. и служит характеристикой отклонения, рассеяния, разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения. Для вычисления дисперсии используется формула:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому рассматривается также среднее квадратическое (или стандартное) отклонение случайной величины , равное арифметическому значению корня квадратного из ее дисперсии, т.е. .

Примеры:

1). Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.

Решение.

а) Рассмотрим следующие события:

А₁ - первый стрелок попал в цель;

А₂ - второй стрелок попал в цель;

А₃ - третий стрелок попал в цель;

- первый стрелок не попал в цель;

- второй стрелок не попал в цель;

- третий стрелок не попал в цель.

По условию Р(А₁) = 0,7; Р(А₂) = 0,8; Р(А₃) = 0,9; Р()=1 - 0,7 = 0,3; Р() = 0,2; Р() = 0,1.

Пусть событие В - попал только один стрелок. Тогда

В = А₁ + А₂ + А₃

Отсюда в силу несовместимости событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей.

Р(В)=Р(А₁)Р()Р()+Р()Р(А₂)Р()+Р()Р()Р(А₃)=
=

б) Пусть событие С - попадут только два стрелка. Тогда

С = А₁А₂ +А₁ А₃+ А₂А₃

Отсюда

в) Пусть событие D - попал хотя бы один стрелок. Тогда противоположное событие - не попал ни один из них, т.е. . Поэтому Р()= .

Отсюда

Р(D)=1 - Р() = 1 - 0,006 = 0,994.

2). Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные - бывшие в употреблении. Наугад взято три микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?

Решение.

Рассмотрим события:

А - первый из взятых микрокалькуляторов новый;

В - второй микрокалькулятор новый;

С - третий микрокалькулятор новый.

Тогда .

Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новый, при условии, что первым уже был отобран новый микрокалькулятор, т.е. условная вероятность события В, равна

Вероятность того, что третьим будет отобранный микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события С, равна

Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна

3). Заданы законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины

Z = 3X - 2Y

Решение. Найдем математические ожидания и дисперсии для случайных величин Х и У.

Напишем законы распределения для случайных величин Х² и У²:

Найдем математические ожидания для случайных величин Х² и У²:

Отсюда

Наконец, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и У, получаем: